Obiettivo del corso è quello di ampliare e consolidare l’acquisizione del metodo matematico come strumento di indagine fondamentale per le discipline economiche, finanziarie ed aziendali. A tal fine il corso si articola in quattro parti. Nella prima parte si forniscono le nozioni di algebra lineare ai fini dello studio dei sistemi lineari e della diagonalizzazione di matrici. Nella seconda parte lo studente sarà introdotto allo studio del calcolo differenziale per funzioni di più variabili. Nella terza il corso fornisce gli strumenti per riconoscere e studiare problemi di ottimizzazione libera e vincolata. Nella quarta si forniscono metodi risolutivi di semplici sistemi ed equazioni differenziali.
Curriculum
scheda docente
materiale didattico
Lo spazio vettoriale reale n-dimensionale. Dipendenza e indipendenza lineare di vettori. Sottospazi e spazi generati da vettori. Basi. Algebra delle matrici. Determinante. Matrice inversa. Rango di una matrice. Sistemi di equazioni lineari. Teorema di Cramer e Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi omogenei e dipendenza lineare. Norma e distanza euclidea in . Prodotto scalare di vettori. Successioni convergente e punti di accumulazione in . Nozioni topologiche e nozioni metriche in . Autovalori e autovettori. Diagonalizzazione di matrici. Proprietà degli autovalori.
Parte II: Funzioni reali di più variabili reali: generalità e calcolo differenziale
Funzioni definite tra spazi euclidei. Grafici e curve di livello. Funzioni lineari. Funzioni quadratiche. Funzioni continue e Teorema di Weierstrass (c.d.). Funzioni concave o convesse. Derivate parziali e gradiente. Differenziale. Derivata lungo una curva e derivata direzionale. Derivate di ordine superiore. Teorema di Schwarz. Matrice Hessiana. Teorema della funzione implicita. Statica comparata. Teorema della funzione inversa. Forme quadratiche e matrici. Segno di una forma quadratica.
Parte III: Ottimizzazione libera e vincolata
Definizione di massimo o minimo locale e globale. Condizioni del primo ordine e condizioni del secondo ordine per ottimizzazione libera. Vincoli di uguaglianza. Vincoli di disuguaglianza. Metodo per sostituzione. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange. Condizioni del secondo ordine nel caso vincolato. Ottimizzazione per funzioni convesse. Applicazioni economiche.
Parte IV: Equazioni differenziali ordinarie e sistemi di equazioni differenziali
Definizioni ed esempi. Differenziale esatto. Equazioni a variabili separabili. Equazioni esatte. Equazioni omogenee. Modello di crescita Malthusiana. Modello di crescita logistica. Equazioni differenziali lineari del II ordine. Teorema generale di esistenza ed unicità della soluzione. Campo di direzioni. Applicazioni economiche. Sistemi di equazioni differenziali bidimensionali. Sistemi di equazioni differenziali lineari: metodo risolutivo tramite autovalori, metodo per sostituzione, stati stazionari e loro stabilità. Applicazioni economiche.
oppure
• Simon & Blume: “Matematica per le scienze economiche” ed. Egea.
Programma
Parte I: Algebra lineareLo spazio vettoriale reale n-dimensionale. Dipendenza e indipendenza lineare di vettori. Sottospazi e spazi generati da vettori. Basi. Algebra delle matrici. Determinante. Matrice inversa. Rango di una matrice. Sistemi di equazioni lineari. Teorema di Cramer e Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi omogenei e dipendenza lineare. Norma e distanza euclidea in . Prodotto scalare di vettori. Successioni convergente e punti di accumulazione in . Nozioni topologiche e nozioni metriche in . Autovalori e autovettori. Diagonalizzazione di matrici. Proprietà degli autovalori.
Parte II: Funzioni reali di più variabili reali: generalità e calcolo differenziale
Funzioni definite tra spazi euclidei. Grafici e curve di livello. Funzioni lineari. Funzioni quadratiche. Funzioni continue e Teorema di Weierstrass (c.d.). Funzioni concave o convesse. Derivate parziali e gradiente. Differenziale. Derivata lungo una curva e derivata direzionale. Derivate di ordine superiore. Teorema di Schwarz. Matrice Hessiana. Teorema della funzione implicita. Statica comparata. Teorema della funzione inversa. Forme quadratiche e matrici. Segno di una forma quadratica.
Parte III: Ottimizzazione libera e vincolata
Definizione di massimo o minimo locale e globale. Condizioni del primo ordine e condizioni del secondo ordine per ottimizzazione libera. Vincoli di uguaglianza. Vincoli di disuguaglianza. Metodo per sostituzione. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange. Condizioni del secondo ordine nel caso vincolato. Ottimizzazione per funzioni convesse. Applicazioni economiche.
Parte IV: Equazioni differenziali ordinarie e sistemi di equazioni differenziali
Definizioni ed esempi. Differenziale esatto. Equazioni a variabili separabili. Equazioni esatte. Equazioni omogenee. Modello di crescita Malthusiana. Modello di crescita logistica. Equazioni differenziali lineari del II ordine. Teorema generale di esistenza ed unicità della soluzione. Campo di direzioni. Applicazioni economiche. Sistemi di equazioni differenziali bidimensionali. Sistemi di equazioni differenziali lineari: metodo risolutivo tramite autovalori, metodo per sostituzione, stati stazionari e loro stabilità. Applicazioni economiche.
Testi Adottati
• Mastroeni L. e Mazzoccoli A.: “Matematica per le applicazioni economiche” ed. Pearson.oppure
• Simon & Blume: “Matematica per le scienze economiche” ed. Egea.
Bibliografia Di Riferimento
Eventuale ulteriore materiale didattico sarà disponibile per gli studenti online sulla pagina web del corso in Moodle.Modalità Erogazione
Lezione frontale. Esercitazioni. Uso della lavagna grafica e registrazioni disponibili al termine del corso.Modalità Valutazione
L'esame sarà costituito da una prova scritta ed una prova orale. La prova scritta sarà composta da esercizi o domande teoriche riguardanti tutto il programma del corso comprese le dimostrazioni dei risultati indicati nel programma con "(c.d.)". La prova orale consisterà in una o più domande su tutto il programma svolto. Autorizzazione a sostenere l'esame in lingua inglese.
scheda docente
materiale didattico
Lo spazio vettoriale reale n-dimensionale. Dipendenza e indipendenza lineare di vettori. Sottospazi e spazi generati da vettori. Basi. Algebra delle matrici. Determinante. Matrice inversa. Rango di una matrice. Sistemi di equazioni lineari. Teorema di Cramer e Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi omogenei e dipendenza lineare. Norma e distanza euclidea in . Prodotto scalare di vettori. Successioni convergente e punti di accumulazione in . Nozioni topologiche e nozioni metriche in . Autovalori e autovettori. Diagonalizzazione di matrici. Proprietà degli autovalori.
Parte II: Funzioni reali di più variabili reali: generalità e calcolo differenziale
Funzioni definite tra spazi euclidei. Grafici e curve di livello. Funzioni lineari. Funzioni quadratiche. Funzioni continue e Teorema di Weierstrass (c.d.). Funzioni concave o convesse. Derivate parziali e gradiente. Differenziale. Derivata lungo una curva e derivata direzionale. Derivate di ordine superiore. Teorema di Schwarz. Matrice Hessiana. Teorema della funzione implicita. Statica comparata. Teorema della funzione inversa. Forme quadratiche e matrici. Segno di una forma quadratica.
Parte III: Ottimizzazione libera e vincolata
Definizione di massimo o minimo locale e globale. Condizioni del primo ordine e condizioni del secondo ordine per ottimizzazione libera. Vincoli di uguaglianza. Vincoli di disuguaglianza. Metodo per sostituzione. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange. Condizioni del secondo ordine nel caso vincolato. Ottimizzazione per funzioni convesse. Applicazioni economiche.
Parte IV: Equazioni differenziali ordinarie e sistemi di equazioni differenziali
Definizioni ed esempi. Differenziale esatto. Equazioni a variabili separabili. Equazioni esatte. Equazioni omogenee. Modello di crescita Malthusiana. Modello di crescita logistica. Equazioni differenziali lineari del II ordine. Teorema generale di esistenza ed unicità della soluzione. Campo di direzioni. Applicazioni economiche. Sistemi di equazioni differenziali bidimensionali. Sistemi di equazioni differenziali lineari: metodo risolutivo tramite autovalori, metodo per sostituzione, stati stazionari e loro stabilità. Applicazioni economiche.
oppure
• Simon & Blume: “Matematica per le scienze economiche” ed. Egea.
Mutuazione: 21210028 Matematica per le applicazioni economiche in Economia L-33 GUIZZI VALENTINA
Programma
Parte I: Algebra lineareLo spazio vettoriale reale n-dimensionale. Dipendenza e indipendenza lineare di vettori. Sottospazi e spazi generati da vettori. Basi. Algebra delle matrici. Determinante. Matrice inversa. Rango di una matrice. Sistemi di equazioni lineari. Teorema di Cramer e Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi omogenei e dipendenza lineare. Norma e distanza euclidea in . Prodotto scalare di vettori. Successioni convergente e punti di accumulazione in . Nozioni topologiche e nozioni metriche in . Autovalori e autovettori. Diagonalizzazione di matrici. Proprietà degli autovalori.
Parte II: Funzioni reali di più variabili reali: generalità e calcolo differenziale
Funzioni definite tra spazi euclidei. Grafici e curve di livello. Funzioni lineari. Funzioni quadratiche. Funzioni continue e Teorema di Weierstrass (c.d.). Funzioni concave o convesse. Derivate parziali e gradiente. Differenziale. Derivata lungo una curva e derivata direzionale. Derivate di ordine superiore. Teorema di Schwarz. Matrice Hessiana. Teorema della funzione implicita. Statica comparata. Teorema della funzione inversa. Forme quadratiche e matrici. Segno di una forma quadratica.
Parte III: Ottimizzazione libera e vincolata
Definizione di massimo o minimo locale e globale. Condizioni del primo ordine e condizioni del secondo ordine per ottimizzazione libera. Vincoli di uguaglianza. Vincoli di disuguaglianza. Metodo per sostituzione. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange. Condizioni del secondo ordine nel caso vincolato. Ottimizzazione per funzioni convesse. Applicazioni economiche.
Parte IV: Equazioni differenziali ordinarie e sistemi di equazioni differenziali
Definizioni ed esempi. Differenziale esatto. Equazioni a variabili separabili. Equazioni esatte. Equazioni omogenee. Modello di crescita Malthusiana. Modello di crescita logistica. Equazioni differenziali lineari del II ordine. Teorema generale di esistenza ed unicità della soluzione. Campo di direzioni. Applicazioni economiche. Sistemi di equazioni differenziali bidimensionali. Sistemi di equazioni differenziali lineari: metodo risolutivo tramite autovalori, metodo per sostituzione, stati stazionari e loro stabilità. Applicazioni economiche.
Testi Adottati
• Mastroeni L. e Mazzoccoli A.: “Matematica per le applicazioni economiche” ed. Pearson.oppure
• Simon & Blume: “Matematica per le scienze economiche” ed. Egea.
Bibliografia Di Riferimento
Eventuale ulteriore materiale didattico sarà disponibile per gli studenti online sulla pagina web del corso in Moodle.Modalità Erogazione
Lezione frontale. Esercitazioni. Uso della lavagna grafica e registrazioni disponibili al termine del corso.Modalità Valutazione
L'esame sarà costituito da una prova scritta ed una prova orale. La prova scritta sarà composta da esercizi o domande teoriche riguardanti tutto il programma del corso comprese le dimostrazioni dei risultati indicati nel programma con "(c.d.)". La prova orale consisterà in una o più domande su tutto il programma svolto. Autorizzazione a sostenere l'esame in lingua inglese.
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Lo spazio vettoriale reale n-dimensionale. Dipendenza e indipendenza lineare di vettori. Sottospazi e spazi generati da vettori. Basi. Algebra delle matrici. Determinante. Matrice inversa. Rango di una matrice. Sistemi di equazioni lineari. Teorema di Cramer e Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi omogenei e dipendenza lineare. Norma e distanza euclidea in . Prodotto scalare di vettori. Successioni convergente e punti di accumulazione in . Nozioni topologiche e nozioni metriche in . Autovalori e autovettori. Diagonalizzazione di matrici. Proprietà degli autovalori.
Parte II: Funzioni reali di più variabili reali: generalità e calcolo differenziale
Funzioni definite tra spazi euclidei. Grafici e curve di livello. Funzioni lineari. Funzioni quadratiche. Funzioni continue e Teorema di Weierstrass (c.d.). Funzioni concave o convesse. Derivate parziali e gradiente. Differenziale. Derivata lungo una curva e derivata direzionale. Derivate di ordine superiore. Teorema di Schwarz. Matrice Hessiana. Teorema della funzione implicita. Statica comparata. Teorema della funzione inversa. Forme quadratiche e matrici. Segno di una forma quadratica.
Parte III: Ottimizzazione libera e vincolata
Definizione di massimo o minimo locale e globale. Condizioni del primo ordine e condizioni del secondo ordine per ottimizzazione libera. Vincoli di uguaglianza. Vincoli di disuguaglianza. Metodo per sostituzione. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange. Condizioni del secondo ordine nel caso vincolato. Ottimizzazione per funzioni convesse. Applicazioni economiche.
Parte IV: Equazioni differenziali ordinarie e sistemi di equazioni differenziali
Definizioni ed esempi. Differenziale esatto. Equazioni a variabili separabili. Equazioni esatte. Equazioni omogenee. Modello di crescita Malthusiana. Modello di crescita logistica. Equazioni differenziali lineari del II ordine. Teorema generale di esistenza ed unicità della soluzione. Campo di direzioni. Applicazioni economiche. Sistemi di equazioni differenziali bidimensionali. Sistemi di equazioni differenziali lineari: metodo risolutivo tramite autovalori, metodo per sostituzione, stati stazionari e loro stabilità. Applicazioni economiche.
oppure
• Simon & Blume: “Matematica per le scienze economiche” ed. Egea.
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Parte I: Algebra lineareLo spazio vettoriale reale n-dimensionale. Dipendenza e indipendenza lineare di vettori. Sottospazi e spazi generati da vettori. Basi. Algebra delle matrici. Determinante. Matrice inversa. Rango di una matrice. Sistemi di equazioni lineari. Teorema di Cramer e Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi omogenei e dipendenza lineare. Norma e distanza euclidea in . Prodotto scalare di vettori. Successioni convergente e punti di accumulazione in . Nozioni topologiche e nozioni metriche in . Autovalori e autovettori. Diagonalizzazione di matrici. Proprietà degli autovalori.
Parte II: Funzioni reali di più variabili reali: generalità e calcolo differenziale
Funzioni definite tra spazi euclidei. Grafici e curve di livello. Funzioni lineari. Funzioni quadratiche. Funzioni continue e Teorema di Weierstrass (c.d.). Funzioni concave o convesse. Derivate parziali e gradiente. Differenziale. Derivata lungo una curva e derivata direzionale. Derivate di ordine superiore. Teorema di Schwarz. Matrice Hessiana. Teorema della funzione implicita. Statica comparata. Teorema della funzione inversa. Forme quadratiche e matrici. Segno di una forma quadratica.
Parte III: Ottimizzazione libera e vincolata
Definizione di massimo o minimo locale e globale. Condizioni del primo ordine e condizioni del secondo ordine per ottimizzazione libera. Vincoli di uguaglianza. Vincoli di disuguaglianza. Metodo per sostituzione. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange. Condizioni del secondo ordine nel caso vincolato. Ottimizzazione per funzioni convesse. Applicazioni economiche.
Parte IV: Equazioni differenziali ordinarie e sistemi di equazioni differenziali
Definizioni ed esempi. Differenziale esatto. Equazioni a variabili separabili. Equazioni esatte. Equazioni omogenee. Modello di crescita Malthusiana. Modello di crescita logistica. Equazioni differenziali lineari del II ordine. Teorema generale di esistenza ed unicità della soluzione. Campo di direzioni. Applicazioni economiche. Sistemi di equazioni differenziali bidimensionali. Sistemi di equazioni differenziali lineari: metodo risolutivo tramite autovalori, metodo per sostituzione, stati stazionari e loro stabilità. Applicazioni economiche.
Testi Adottati
• Mastroeni L. e Mazzoccoli A.: “Matematica per le applicazioni economiche” ed. Pearson.oppure
• Simon & Blume: “Matematica per le scienze economiche” ed. Egea.
Bibliografia Di Riferimento
Eventuale ulteriore materiale didattico sarà disponibile per gli studenti online sulla pagina web del corso in Moodle.Modalità Erogazione
Lezione frontale. Esercitazioni. Uso della lavagna grafica e registrazioni disponibili al termine del corso.Modalità Valutazione
L'esame sarà costituito da una prova scritta ed una prova orale. La prova scritta sarà composta da esercizi o domande teoriche riguardanti tutto il programma del corso comprese le dimostrazioni dei risultati indicati nel programma con "(c.d.)". La prova orale consisterà in una o più domande su tutto il programma svolto. Autorizzazione a sostenere l'esame in lingua inglese.
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Lo spazio vettoriale reale n-dimensionale. Dipendenza e indipendenza lineare di vettori. Sottospazi e spazi generati da vettori. Basi. Algebra delle matrici. Determinante. Matrice inversa. Rango di una matrice. Sistemi di equazioni lineari. Teorema di Cramer e Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi omogenei e dipendenza lineare. Norma e distanza euclidea in . Prodotto scalare di vettori. Successioni convergente e punti di accumulazione in . Nozioni topologiche e nozioni metriche in . Autovalori e autovettori. Diagonalizzazione di matrici. Proprietà degli autovalori.
Parte II: Funzioni reali di più variabili reali: generalità e calcolo differenziale
Funzioni definite tra spazi euclidei. Grafici e curve di livello. Funzioni lineari. Funzioni quadratiche. Funzioni continue e Teorema di Weierstrass (c.d.). Funzioni concave o convesse. Derivate parziali e gradiente. Differenziale. Derivata lungo una curva e derivata direzionale. Derivate di ordine superiore. Teorema di Schwarz. Matrice Hessiana. Teorema della funzione implicita. Statica comparata. Teorema della funzione inversa. Forme quadratiche e matrici. Segno di una forma quadratica.
Parte III: Ottimizzazione libera e vincolata
Definizione di massimo o minimo locale e globale. Condizioni del primo ordine e condizioni del secondo ordine per ottimizzazione libera. Vincoli di uguaglianza. Vincoli di disuguaglianza. Metodo per sostituzione. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange. Condizioni del secondo ordine nel caso vincolato. Ottimizzazione per funzioni convesse. Applicazioni economiche.
Parte IV: Equazioni differenziali ordinarie e sistemi di equazioni differenziali
Definizioni ed esempi. Differenziale esatto. Equazioni a variabili separabili. Equazioni esatte. Equazioni omogenee. Modello di crescita Malthusiana. Modello di crescita logistica. Equazioni differenziali lineari del II ordine. Teorema generale di esistenza ed unicità della soluzione. Campo di direzioni. Applicazioni economiche. Sistemi di equazioni differenziali bidimensionali. Sistemi di equazioni differenziali lineari: metodo risolutivo tramite autovalori, metodo per sostituzione, stati stazionari e loro stabilità. Applicazioni economiche.
oppure
• Simon & Blume: “Matematica per le scienze economiche” ed. Egea.
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Parte I: Algebra lineareLo spazio vettoriale reale n-dimensionale. Dipendenza e indipendenza lineare di vettori. Sottospazi e spazi generati da vettori. Basi. Algebra delle matrici. Determinante. Matrice inversa. Rango di una matrice. Sistemi di equazioni lineari. Teorema di Cramer e Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi omogenei e dipendenza lineare. Norma e distanza euclidea in . Prodotto scalare di vettori. Successioni convergente e punti di accumulazione in . Nozioni topologiche e nozioni metriche in . Autovalori e autovettori. Diagonalizzazione di matrici. Proprietà degli autovalori.
Parte II: Funzioni reali di più variabili reali: generalità e calcolo differenziale
Funzioni definite tra spazi euclidei. Grafici e curve di livello. Funzioni lineari. Funzioni quadratiche. Funzioni continue e Teorema di Weierstrass (c.d.). Funzioni concave o convesse. Derivate parziali e gradiente. Differenziale. Derivata lungo una curva e derivata direzionale. Derivate di ordine superiore. Teorema di Schwarz. Matrice Hessiana. Teorema della funzione implicita. Statica comparata. Teorema della funzione inversa. Forme quadratiche e matrici. Segno di una forma quadratica.
Parte III: Ottimizzazione libera e vincolata
Definizione di massimo o minimo locale e globale. Condizioni del primo ordine e condizioni del secondo ordine per ottimizzazione libera. Vincoli di uguaglianza. Vincoli di disuguaglianza. Metodo per sostituzione. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange. Condizioni del secondo ordine nel caso vincolato. Ottimizzazione per funzioni convesse. Applicazioni economiche.
Parte IV: Equazioni differenziali ordinarie e sistemi di equazioni differenziali
Definizioni ed esempi. Differenziale esatto. Equazioni a variabili separabili. Equazioni esatte. Equazioni omogenee. Modello di crescita Malthusiana. Modello di crescita logistica. Equazioni differenziali lineari del II ordine. Teorema generale di esistenza ed unicità della soluzione. Campo di direzioni. Applicazioni economiche. Sistemi di equazioni differenziali bidimensionali. Sistemi di equazioni differenziali lineari: metodo risolutivo tramite autovalori, metodo per sostituzione, stati stazionari e loro stabilità. Applicazioni economiche.
Testi Adottati
• Mastroeni L. e Mazzoccoli A.: “Matematica per le applicazioni economiche” ed. Pearson.oppure
• Simon & Blume: “Matematica per le scienze economiche” ed. Egea.
Bibliografia Di Riferimento
Eventuale ulteriore materiale didattico sarà disponibile per gli studenti online sulla pagina web del corso in Moodle.Modalità Erogazione
Lezione frontale. Esercitazioni. Uso della lavagna grafica e registrazioni disponibili al termine del corso.Modalità Valutazione
L'esame sarà costituito da una prova scritta ed una prova orale. La prova scritta sarà composta da esercizi o domande teoriche riguardanti tutto il programma del corso comprese le dimostrazioni dei risultati indicati nel programma con "(c.d.)". La prova orale consisterà in una o più domande su tutto il programma svolto. Autorizzazione a sostenere l'esame in lingua inglese.
scheda docente
materiale didattico
Lo spazio vettoriale reale n-dimensionale. Dipendenza e indipendenza lineare di vettori. Sottospazi e spazi generati da vettori. Basi. Algebra delle matrici. Determinante. Matrice inversa. Rango di una matrice. Sistemi di equazioni lineari. Teorema di Cramer e Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi omogenei e dipendenza lineare. Norma e distanza euclidea in . Prodotto scalare di vettori. Successioni convergente e punti di accumulazione in . Nozioni topologiche e nozioni metriche in . Autovalori e autovettori. Diagonalizzazione di matrici. Proprietà degli autovalori.
Parte II: Funzioni reali di più variabili reali: generalità e calcolo differenziale
Funzioni definite tra spazi euclidei. Grafici e curve di livello. Funzioni lineari. Funzioni quadratiche. Funzioni continue e Teorema di Weierstrass (c.d.). Funzioni concave o convesse. Derivate parziali e gradiente. Differenziale. Derivata lungo una curva e derivata direzionale. Derivate di ordine superiore. Teorema di Schwarz. Matrice Hessiana. Teorema della funzione implicita. Statica comparata. Teorema della funzione inversa. Forme quadratiche e matrici. Segno di una forma quadratica.
Parte III: Ottimizzazione libera e vincolata
Definizione di massimo o minimo locale e globale. Condizioni del primo ordine e condizioni del secondo ordine per ottimizzazione libera. Vincoli di uguaglianza. Vincoli di disuguaglianza. Metodo per sostituzione. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange. Condizioni del secondo ordine nel caso vincolato. Ottimizzazione per funzioni convesse. Applicazioni economiche.
Parte IV: Equazioni differenziali ordinarie e sistemi di equazioni differenziali
Definizioni ed esempi. Differenziale esatto. Equazioni a variabili separabili. Equazioni esatte. Equazioni omogenee. Modello di crescita Malthusiana. Modello di crescita logistica. Equazioni differenziali lineari del II ordine. Teorema generale di esistenza ed unicità della soluzione. Campo di direzioni. Applicazioni economiche. Sistemi di equazioni differenziali bidimensionali. Sistemi di equazioni differenziali lineari: metodo risolutivo tramite autovalori, metodo per sostituzione, stati stazionari e loro stabilità. Applicazioni economiche.
oppure
• Simon & Blume: “Matematica per le scienze economiche” ed. Egea.
Mutuazione: 21210028 Matematica per le applicazioni economiche in Economia L-33 GUIZZI VALENTINA
Programma
Parte I: Algebra lineareLo spazio vettoriale reale n-dimensionale. Dipendenza e indipendenza lineare di vettori. Sottospazi e spazi generati da vettori. Basi. Algebra delle matrici. Determinante. Matrice inversa. Rango di una matrice. Sistemi di equazioni lineari. Teorema di Cramer e Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi omogenei e dipendenza lineare. Norma e distanza euclidea in . Prodotto scalare di vettori. Successioni convergente e punti di accumulazione in . Nozioni topologiche e nozioni metriche in . Autovalori e autovettori. Diagonalizzazione di matrici. Proprietà degli autovalori.
Parte II: Funzioni reali di più variabili reali: generalità e calcolo differenziale
Funzioni definite tra spazi euclidei. Grafici e curve di livello. Funzioni lineari. Funzioni quadratiche. Funzioni continue e Teorema di Weierstrass (c.d.). Funzioni concave o convesse. Derivate parziali e gradiente. Differenziale. Derivata lungo una curva e derivata direzionale. Derivate di ordine superiore. Teorema di Schwarz. Matrice Hessiana. Teorema della funzione implicita. Statica comparata. Teorema della funzione inversa. Forme quadratiche e matrici. Segno di una forma quadratica.
Parte III: Ottimizzazione libera e vincolata
Definizione di massimo o minimo locale e globale. Condizioni del primo ordine e condizioni del secondo ordine per ottimizzazione libera. Vincoli di uguaglianza. Vincoli di disuguaglianza. Metodo per sostituzione. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange. Condizioni del secondo ordine nel caso vincolato. Ottimizzazione per funzioni convesse. Applicazioni economiche.
Parte IV: Equazioni differenziali ordinarie e sistemi di equazioni differenziali
Definizioni ed esempi. Differenziale esatto. Equazioni a variabili separabili. Equazioni esatte. Equazioni omogenee. Modello di crescita Malthusiana. Modello di crescita logistica. Equazioni differenziali lineari del II ordine. Teorema generale di esistenza ed unicità della soluzione. Campo di direzioni. Applicazioni economiche. Sistemi di equazioni differenziali bidimensionali. Sistemi di equazioni differenziali lineari: metodo risolutivo tramite autovalori, metodo per sostituzione, stati stazionari e loro stabilità. Applicazioni economiche.
Testi Adottati
• Mastroeni L. e Mazzoccoli A.: “Matematica per le applicazioni economiche” ed. Pearson.oppure
• Simon & Blume: “Matematica per le scienze economiche” ed. Egea.
Bibliografia Di Riferimento
Eventuale ulteriore materiale didattico sarà disponibile per gli studenti online sulla pagina web del corso in Moodle.Modalità Erogazione
Lezione frontale. Esercitazioni. Uso della lavagna grafica e registrazioni disponibili al termine del corso.Modalità Valutazione
L'esame sarà costituito da una prova scritta ed una prova orale. La prova scritta sarà composta da esercizi o domande teoriche riguardanti tutto il programma del corso comprese le dimostrazioni dei risultati indicati nel programma con "(c.d.)". La prova orale consisterà in una o più domande su tutto il programma svolto. Autorizzazione a sostenere l'esame in lingua inglese.
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materiale didattico
Lo spazio vettoriale reale n-dimensionale. Dipendenza e indipendenza lineare di vettori. Sottospazi e spazi generati da vettori. Basi. Algebra delle matrici. Determinante. Matrice inversa. Rango di una matrice. Sistemi di equazioni lineari. Teorema di Cramer e Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi omogenei e dipendenza lineare. Norma e distanza euclidea in . Prodotto scalare di vettori. Successioni convergente e punti di accumulazione in . Nozioni topologiche e nozioni metriche in . Autovalori e autovettori. Diagonalizzazione di matrici. Proprietà degli autovalori.
Parte II: Funzioni reali di più variabili reali: generalità e calcolo differenziale
Funzioni definite tra spazi euclidei. Grafici e curve di livello. Funzioni lineari. Funzioni quadratiche. Funzioni continue e Teorema di Weierstrass (c.d.). Funzioni concave o convesse. Derivate parziali e gradiente. Differenziale. Derivata lungo una curva e derivata direzionale. Derivate di ordine superiore. Teorema di Schwarz. Matrice Hessiana. Teorema della funzione implicita. Statica comparata. Teorema della funzione inversa. Forme quadratiche e matrici. Segno di una forma quadratica.
Parte III: Ottimizzazione libera e vincolata
Definizione di massimo o minimo locale e globale. Condizioni del primo ordine e condizioni del secondo ordine per ottimizzazione libera. Vincoli di uguaglianza. Vincoli di disuguaglianza. Metodo per sostituzione. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange. Condizioni del secondo ordine nel caso vincolato. Ottimizzazione per funzioni convesse. Applicazioni economiche.
Parte IV: Equazioni differenziali ordinarie e sistemi di equazioni differenziali
Definizioni ed esempi. Differenziale esatto. Equazioni a variabili separabili. Equazioni esatte. Equazioni omogenee. Modello di crescita Malthusiana. Modello di crescita logistica. Equazioni differenziali lineari del II ordine. Teorema generale di esistenza ed unicità della soluzione. Campo di direzioni. Applicazioni economiche. Sistemi di equazioni differenziali bidimensionali. Sistemi di equazioni differenziali lineari: metodo risolutivo tramite autovalori, metodo per sostituzione, stati stazionari e loro stabilità. Applicazioni economiche.
oppure
• Simon & Blume: “Matematica per le scienze economiche” ed. Egea.
Programma
Parte I: Algebra lineareLo spazio vettoriale reale n-dimensionale. Dipendenza e indipendenza lineare di vettori. Sottospazi e spazi generati da vettori. Basi. Algebra delle matrici. Determinante. Matrice inversa. Rango di una matrice. Sistemi di equazioni lineari. Teorema di Cramer e Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi omogenei e dipendenza lineare. Norma e distanza euclidea in . Prodotto scalare di vettori. Successioni convergente e punti di accumulazione in . Nozioni topologiche e nozioni metriche in . Autovalori e autovettori. Diagonalizzazione di matrici. Proprietà degli autovalori.
Parte II: Funzioni reali di più variabili reali: generalità e calcolo differenziale
Funzioni definite tra spazi euclidei. Grafici e curve di livello. Funzioni lineari. Funzioni quadratiche. Funzioni continue e Teorema di Weierstrass (c.d.). Funzioni concave o convesse. Derivate parziali e gradiente. Differenziale. Derivata lungo una curva e derivata direzionale. Derivate di ordine superiore. Teorema di Schwarz. Matrice Hessiana. Teorema della funzione implicita. Statica comparata. Teorema della funzione inversa. Forme quadratiche e matrici. Segno di una forma quadratica.
Parte III: Ottimizzazione libera e vincolata
Definizione di massimo o minimo locale e globale. Condizioni del primo ordine e condizioni del secondo ordine per ottimizzazione libera. Vincoli di uguaglianza. Vincoli di disuguaglianza. Metodo per sostituzione. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange. Condizioni del secondo ordine nel caso vincolato. Ottimizzazione per funzioni convesse. Applicazioni economiche.
Parte IV: Equazioni differenziali ordinarie e sistemi di equazioni differenziali
Definizioni ed esempi. Differenziale esatto. Equazioni a variabili separabili. Equazioni esatte. Equazioni omogenee. Modello di crescita Malthusiana. Modello di crescita logistica. Equazioni differenziali lineari del II ordine. Teorema generale di esistenza ed unicità della soluzione. Campo di direzioni. Applicazioni economiche. Sistemi di equazioni differenziali bidimensionali. Sistemi di equazioni differenziali lineari: metodo risolutivo tramite autovalori, metodo per sostituzione, stati stazionari e loro stabilità. Applicazioni economiche.
Testi Adottati
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• Simon & Blume: “Matematica per le scienze economiche” ed. Egea.
Bibliografia Di Riferimento
Eventuale ulteriore materiale didattico sarà disponibile per gli studenti online sulla pagina web del corso in Moodle.Modalità Erogazione
Lezione frontale. Esercitazioni. Uso della lavagna grafica e registrazioni disponibili al termine del corso.Modalità Valutazione
L'esame sarà costituito da una prova scritta ed una prova orale. La prova scritta sarà composta da esercizi o domande teoriche riguardanti tutto il programma del corso comprese le dimostrazioni dei risultati indicati nel programma con "(c.d.)". La prova orale consisterà in una o più domande su tutto il programma svolto. Autorizzazione a sostenere l'esame in lingua inglese.