L'obiettivo del corso è, da un lato, ampliare e consolidare l'acquisizione del metodo matematico come strumento di indagine fondamentale per le discipline economiche, finanziarie e aziendali; dall'altro, fornire le nozioni necessarie alla comprensione dei mercati e dei principali strumenti finanziari. In particolare, verranno forniti strumenti nel campo dell'analisi e della gestione del rischio nei mercati finanziari.
scheda docente
materiale didattico
Insiemi in R^2 e in R^n.
Topologia in R^2 Insiemi aperti, chiusi, compatti, limitati e illimitati, connessi, sconnessi, stellati e convessi.
Spazi metrici, spazi normati.
Funzioni reali di più variabili reali.
Funzioni definite tra spazi euclidei, grafici, dominio di funzione, funzioni limitate, funzioni continue, funzioni concave e funzioni convesse.
Curve di Livello
Curve di livello per una funzione, curve di livello superiori e inferiori.
Segno di una matrice
Definizione, segno di una matrice attraverso il determinante e attraverso gli autovalori
Calcolo differenziale in più variabili.
Derivate parziali, gradiente, equazione del piano tangente e approssimazione lineare di una funzione, derivate parziali di ordine superiore, matrice hessiana, teorema di Schwartz, funzioni di classe C^2, polinomio di Taylor del secondo ordine, approssimazione del secondo ordine di una funzione.
Ottimizzazione libera.
Definizioni massimo, minimo locale e assoluto, punto di sella, condizioni del primo ordine, condizioni sufficienti e condizioni necessarie. Condizioni del secondo ordine, ottimizzazione per funzioni convesse.
Grafi.
Richiami di calcolo combinatorio. Grafo orientato, vertici e archi, funzione del successore, grafo non orientato, vertici e archi incidenti, archi uscenti e archi entranti, grafo vuoto, ordine e dimensione di un grafo, vertici adiacenti, vicinato, multi-grafo, cappio, grafo semplice, grado di un vertice, vertice isolato.
Lemma delle strette di mano e suo corollario. Grado entrante e grado uscente, grafi con dimensione massima, grafi completi, grafo pesato, grado entrante pesato e grado uscente pesato.
Rappresentazione matematica di un grafo non pesato (orientato e non). Matrice di adiacenza di un grafo non orientato, somma per righe e per colonne, vettore dei gradi; matrice di adiacenza di un grafo orientato, somma per righe e per colonne; matrice di adiacenza di un multigrafo. Rappresentazione matematica di un grafo pesato: matrice di adiacenza. Modello di Cucker-Smale. Modello di Galam.
Liste di adiacenza, isomorfismo tra grafi, matrici di permutazione, Teorema su grafi isomorfi e matrici di permutazione, autovalori di matrici di adiacenza, Teorema su grafi isomorfi e autovalori. Isomorfismo tra grafi e distribuzione dei gradi dei vertici. Cammini su grafi non orientati: cammino, lunghezza di un cammino, cammino semplice, cammino chiuso (ciclo), ciclo semplice, grafo aciclico. Cammini su grafi orientati. Potenza k-esima della matrice di adiacenza.
Teorema della potenza k-esima della matrice di adiacenza, sottografo, vertici connessi, grafo connesso, componenti, sottografo connesso massimale, ponte, cammino minimo, distanza tra vertici, matrice delle distanze.
Grafo soggiacente, grafo debolmente connesso, grafo fortemente connesso, peso di un cammino, cammino minimo per grafi pesati.
Cammino di peso minimo: proprietà dei sottocammini di un cammino minimo. Algoritmo di Dijkstra per grafi orientati e no. Definizione di centralità, centralità di grado, di betweenness e di closeness.
Mastroeni - Mazzoccoli. Matematica per le applicazioni economiche PEARSON
Appunti e altro materiale scaricabile online dal corso sulla piattaforma Moodle
Programma
Autovalori, autovettori, autospazio, matrici diagonalizzabili, diagonalizzazione di matrici, molteplicità algebrica e geometrica, autovalori di matrici simmetriche, proprietà degli autovalori e autovettori, definizioni e teoremi annessi.Insiemi in R^2 e in R^n.
Topologia in R^2 Insiemi aperti, chiusi, compatti, limitati e illimitati, connessi, sconnessi, stellati e convessi.
Spazi metrici, spazi normati.
Funzioni reali di più variabili reali.
Funzioni definite tra spazi euclidei, grafici, dominio di funzione, funzioni limitate, funzioni continue, funzioni concave e funzioni convesse.
Curve di Livello
Curve di livello per una funzione, curve di livello superiori e inferiori.
Segno di una matrice
Definizione, segno di una matrice attraverso il determinante e attraverso gli autovalori
Calcolo differenziale in più variabili.
Derivate parziali, gradiente, equazione del piano tangente e approssimazione lineare di una funzione, derivate parziali di ordine superiore, matrice hessiana, teorema di Schwartz, funzioni di classe C^2, polinomio di Taylor del secondo ordine, approssimazione del secondo ordine di una funzione.
Ottimizzazione libera.
Definizioni massimo, minimo locale e assoluto, punto di sella, condizioni del primo ordine, condizioni sufficienti e condizioni necessarie. Condizioni del secondo ordine, ottimizzazione per funzioni convesse.
Grafi.
Richiami di calcolo combinatorio. Grafo orientato, vertici e archi, funzione del successore, grafo non orientato, vertici e archi incidenti, archi uscenti e archi entranti, grafo vuoto, ordine e dimensione di un grafo, vertici adiacenti, vicinato, multi-grafo, cappio, grafo semplice, grado di un vertice, vertice isolato.
Lemma delle strette di mano e suo corollario. Grado entrante e grado uscente, grafi con dimensione massima, grafi completi, grafo pesato, grado entrante pesato e grado uscente pesato.
Rappresentazione matematica di un grafo non pesato (orientato e non). Matrice di adiacenza di un grafo non orientato, somma per righe e per colonne, vettore dei gradi; matrice di adiacenza di un grafo orientato, somma per righe e per colonne; matrice di adiacenza di un multigrafo. Rappresentazione matematica di un grafo pesato: matrice di adiacenza. Modello di Cucker-Smale. Modello di Galam.
Liste di adiacenza, isomorfismo tra grafi, matrici di permutazione, Teorema su grafi isomorfi e matrici di permutazione, autovalori di matrici di adiacenza, Teorema su grafi isomorfi e autovalori. Isomorfismo tra grafi e distribuzione dei gradi dei vertici. Cammini su grafi non orientati: cammino, lunghezza di un cammino, cammino semplice, cammino chiuso (ciclo), ciclo semplice, grafo aciclico. Cammini su grafi orientati. Potenza k-esima della matrice di adiacenza.
Teorema della potenza k-esima della matrice di adiacenza, sottografo, vertici connessi, grafo connesso, componenti, sottografo connesso massimale, ponte, cammino minimo, distanza tra vertici, matrice delle distanze.
Grafo soggiacente, grafo debolmente connesso, grafo fortemente connesso, peso di un cammino, cammino minimo per grafi pesati.
Cammino di peso minimo: proprietà dei sottocammini di un cammino minimo. Algoritmo di Dijkstra per grafi orientati e no. Definizione di centralità, centralità di grado, di betweenness e di closeness.
Testi Adottati
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Bibliografia Di Riferimento
Consigliati: Mastroeni - Mazzoccoli. Matematica per le applicazioni economiche PEARSON Appunti e altro materiale scaricabile online dal corso sulla piattaforma MoodleModalità Erogazione
Le lezioni si svolgeranno in presenzaModalità Frequenza
La frequenza non è obbligatoriaModalità Valutazione
L’esame sarà costituito da una prova scritta ed una orale. La prova scritta sarà composta da esercizi, domande teoriche riguardanti tutto il programma del corso. La prova orale è consigliata solo a chi superi lo scritto con almeno 18/30 e consisterà in una o più domande su tutto il programma comprese le dimostrazioni dei risultati indicati nel programma
scheda docente
materiale didattico
Autovalori, autovettori, autospazio, diagonalizzazione di matrici, autovalori di matrici simmetriche, proprietà degli autovalori. Matrici di permutazione.
Insiemi in R*2 e in R*n.
Spazi metrici, spazi normati. Topologia in R*n.
Funzioni reali di più variabili reali.
Funzioni definite tra spazi euclidei, grafici, curve di livello, funzioni continue, funzioni concave e funzioni convesse.
Calcolo differenziale in più variabili.
Derivate parziali, gradiente, derivate di ordine superiore, matrice hessiana, teorema di Schwartz, polinomio di Taylor.
Forme bilineari e quadratiche.
Definizioni, segno delle forme quadratiche, minori principali di una matrice, segno di una matrice.
Ottimizzazione libera.
Definizioni, condizioni del primo ordine, condizioni del secondo ordine, condizioni del secondo ordine; ottimizzazione per funzioni convesse. Metodo dei minimi quadrati, retta di regressione.
Funzioni implicite.
Teorema di Dini, interpretazione geometrica del teorema, punti regolari, teorema del gradiente.
Grafi.
Richiami di calcolo combinatorio. Grafo orientato, vertici e archi, funzione del successore, grafo non orientato, vertici e archi incidenti, archi uscenti e archi entranti, grafo vuoto, ordine e dimensione di un grafo, vertici adiacenti, vicinato, multi-grafo, cappio, grafo semplice, grado di un vertice, vertice isolato.
Lemma delle strette di mano e suo corollario. Grado entrante e grado uscente, grafi con dimensione massima, grafi completi, grafo pesato, grado entrante pesato e grado uscente pesato.
Rappresentazione matematica di un grafo non pesato (orientato e non). Matrice di adiacenza di un grafo non orientato, somma per righe e per colonne, vettore dei gradi; matrice di adiacenza di un grafo orientato, somma per righe e per colonne; matrice di adiacenza di un multigrafo. Rappresentazione matematica di un grafo pesato: matrice di adiacenza. Modello di Cucker-Smale. Modello di Galam.
Liste di adiacenza, isomorfismo tra grafi, matrici di permutazione, Teorema su grafi isomorfi e matrici di permutazione, autovalori di matrici di adiacenza, Teorema su grafi isomorfi e autovalori. Isomorfismo tra grafi e distribuzione dei gradi dei vertici. Cammini su grafi non orientati: cammino, lunghezza di un cammino, cammino semplice, cammino chiuso (ciclo), ciclo semplice, grafo aciclico. Cammini su grafi orientati. Potenza k-esima della matrice di adiacenza.
Teorema della potenza k-esima della matrice di adiacenza, sottografo, vertici connessi, grafo connesso, componenti, sottografo connesso massimale, ponte, cammino minimo, distanza tra vertici, matrice delle distanze.
Grafo soggiacente, grafo debolmente connesso, grafo fortemente connesso, peso di un cammino, cammino minimo per grafi pesati.
Cammino di peso minimo: proprietà dei sottocammini di un cammino minimo. Algoritmo di Dijkstra per grafi orientati e no. Definizione di centralità, centralità di grado, di betweenness e di closeness.
Mastroeni - Mazzoccoli. Matematica per le applicazioni economiche PEARSON
Appunti e altro materiale scaricabile online dal corso sulla piattaforma Moodle
Programma
Algebra lineare.Autovalori, autovettori, autospazio, diagonalizzazione di matrici, autovalori di matrici simmetriche, proprietà degli autovalori. Matrici di permutazione.
Insiemi in R*2 e in R*n.
Spazi metrici, spazi normati. Topologia in R*n.
Funzioni reali di più variabili reali.
Funzioni definite tra spazi euclidei, grafici, curve di livello, funzioni continue, funzioni concave e funzioni convesse.
Calcolo differenziale in più variabili.
Derivate parziali, gradiente, derivate di ordine superiore, matrice hessiana, teorema di Schwartz, polinomio di Taylor.
Forme bilineari e quadratiche.
Definizioni, segno delle forme quadratiche, minori principali di una matrice, segno di una matrice.
Ottimizzazione libera.
Definizioni, condizioni del primo ordine, condizioni del secondo ordine, condizioni del secondo ordine; ottimizzazione per funzioni convesse. Metodo dei minimi quadrati, retta di regressione.
Funzioni implicite.
Teorema di Dini, interpretazione geometrica del teorema, punti regolari, teorema del gradiente.
Grafi.
Richiami di calcolo combinatorio. Grafo orientato, vertici e archi, funzione del successore, grafo non orientato, vertici e archi incidenti, archi uscenti e archi entranti, grafo vuoto, ordine e dimensione di un grafo, vertici adiacenti, vicinato, multi-grafo, cappio, grafo semplice, grado di un vertice, vertice isolato.
Lemma delle strette di mano e suo corollario. Grado entrante e grado uscente, grafi con dimensione massima, grafi completi, grafo pesato, grado entrante pesato e grado uscente pesato.
Rappresentazione matematica di un grafo non pesato (orientato e non). Matrice di adiacenza di un grafo non orientato, somma per righe e per colonne, vettore dei gradi; matrice di adiacenza di un grafo orientato, somma per righe e per colonne; matrice di adiacenza di un multigrafo. Rappresentazione matematica di un grafo pesato: matrice di adiacenza. Modello di Cucker-Smale. Modello di Galam.
Liste di adiacenza, isomorfismo tra grafi, matrici di permutazione, Teorema su grafi isomorfi e matrici di permutazione, autovalori di matrici di adiacenza, Teorema su grafi isomorfi e autovalori. Isomorfismo tra grafi e distribuzione dei gradi dei vertici. Cammini su grafi non orientati: cammino, lunghezza di un cammino, cammino semplice, cammino chiuso (ciclo), ciclo semplice, grafo aciclico. Cammini su grafi orientati. Potenza k-esima della matrice di adiacenza.
Teorema della potenza k-esima della matrice di adiacenza, sottografo, vertici connessi, grafo connesso, componenti, sottografo connesso massimale, ponte, cammino minimo, distanza tra vertici, matrice delle distanze.
Grafo soggiacente, grafo debolmente connesso, grafo fortemente connesso, peso di un cammino, cammino minimo per grafi pesati.
Cammino di peso minimo: proprietà dei sottocammini di un cammino minimo. Algoritmo di Dijkstra per grafi orientati e no. Definizione di centralità, centralità di grado, di betweenness e di closeness.
Testi Adottati
Consigliati: Mastroeni - Mazzoccoli. Matematica per le applicazioni economiche PEARSON
Appunti e altro materiale scaricabile online dal corso sulla piattaforma Moodle
Modalità Valutazione
L’esame sarà costituito da una prova scritta ed una orale. La prova scritta sarà composta da esercizi, domande teoriche riguardanti tutto il programma del corso. La prova orale è consigliata solo a chi superi lo scritto con almeno 18/30 e consisterà in una o più domande su tutto il programma comprese le dimostrazioni dei risultati indicati nel programma