Obiettivo del corso è quello di ampliare e consolidare l’acquisizione del metodo matematico come strumento di indagine fondamentale per le discipline economiche, finanziarie ed aziendali. A tal fine il corso si articola in quattro parti. Nella prima parte si forniscono le nozioni di algebra lineare ai fini dello studio dei sistemi lineari e della diagonalizzazione di matrici. Nella seconda parte lo studente sarà introdotto allo studio del calcolo differenziale per funzioni di più variabili. Nella terza il corso fornisce gli strumenti per riconoscere e studiare problemi di ottimizzazione libera e vincolata. Nella quarta si forniscono metodi risolutivi di semplici sistemi ed equazioni differenziali.
Curriculum
scheda docente
materiale didattico
Lo spazio vettoriale reale n-dimensionale. Norma e distanza euclidea nello spazio vettoriale reale n-dimensionale. Prodotto scalare di vettori. Topologia e metrica nello spazio vettoriale reale n-dimensionale. Dipendenza e indipendenza lineare. Basi. Sottospazi e spazi generati da vettori. Autovalori e autovettori. Diagonalizzazione di matrici. Proprietà degli autovalori.
Parte II: Funzioni reali di più variabili reali – Generalità, calcolo differenziale e ottimizzazione libera
Funzioni definite tra spazi euclidei. Grafici e curve di livello. Funzioni lineari e teorema di rappresentazione (c.d.). Funzioni quadratiche e teorema di rappresentazione. Funzioni continue e Teorema di Weierstrass. Funzioni concave o convesse. Derivate parziali e gradiente. Differenziale. Derivata lungo una curva e derivata direzionale. Prima proprietà del gradiente (c.d.). Derivate di ordine superiore. Teorema di Schwarz. Matrice Hessiana. Segno di una forma quadratica. Criterio dei MPNO. Criterio dei MP. Definizione di massimo o minimo locale e globale. Ottimizzazione libera: condizioni necessarie del primo ordine (c.d.) e condizioni sufficienti del secondo ordine per l’esistenza di massimi e minimi locali, cenni al caso globale in ipotesi di concavità/convessità.
Parte III: Funzioni reali di più variabili reali - Ottimizzazione libera e vincolata
Funzioni vettoriali e matrice Jacobiana. Derivazione di funzione composta. Teorema della funzione implicita. Seconda proprietà del gradiente (c.d.). Ottimizzazione vincolata: vincoli di uguaglianza e vincoli di disuguaglianza. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange (c.d. geometrica). Condizioni del secondo ordine per l’esistenza di massimi o minimi locali con vincolo di uguaglianza (Hessiana orlata). Caso globale con vincolo compatto. Rappresentazione geometrica del problema vincolato. Cenni alle CN di Khun-Tucker. Funzioni omogenee: definizione e proprietà geometriche. Teorema di Eulero (c.d.). Applicazioni economiche: il problema del consumatore.
Parte IV: Equazioni differenziali ordinarie e sistemi di equazioni differenziali
Definizioni ed esempi. Modello di crescita Malthusiana. Problema di Cauchy. Teorema generale di esistenza ed unicità della soluzione (cenni). Equazioni differenziali lineari del I ordine: struttura delle soluzioni, il caso a coefficienti costanti, la formula generale per le soluzioni. Equazioni a variabili separabili. Equazioni differenziali lineari del II ordine: struttura delle soluzioni, il caso a coefficienti costanti, il caso omogeneo e il principio di somiglianza. Modello di crescita logistica. Applicazioni economiche. Sistemi di equazioni differenziali bidimensionali del I ordine. Sistemi di equazioni differenziali lineari del I ordine a coefficienti costanti: metodo risolutivo tramite autovalori, stati stazionari e loro stabilità. Applicazioni economiche.
(c.d. = con dimostrazione)
Altro materiale sarà disponibile nella classe Moodle del corso
Altri libri di testo:
Mastroeni L. e Mazzoccoli A.: “Matematica per le applicazioni economiche” ed. Pearson.
Programma
Parte I: Algebra lineareLo spazio vettoriale reale n-dimensionale. Norma e distanza euclidea nello spazio vettoriale reale n-dimensionale. Prodotto scalare di vettori. Topologia e metrica nello spazio vettoriale reale n-dimensionale. Dipendenza e indipendenza lineare. Basi. Sottospazi e spazi generati da vettori. Autovalori e autovettori. Diagonalizzazione di matrici. Proprietà degli autovalori.
Parte II: Funzioni reali di più variabili reali – Generalità, calcolo differenziale e ottimizzazione libera
Funzioni definite tra spazi euclidei. Grafici e curve di livello. Funzioni lineari e teorema di rappresentazione (c.d.). Funzioni quadratiche e teorema di rappresentazione. Funzioni continue e Teorema di Weierstrass. Funzioni concave o convesse. Derivate parziali e gradiente. Differenziale. Derivata lungo una curva e derivata direzionale. Prima proprietà del gradiente (c.d.). Derivate di ordine superiore. Teorema di Schwarz. Matrice Hessiana. Segno di una forma quadratica. Criterio dei MPNO. Criterio dei MP. Definizione di massimo o minimo locale e globale. Ottimizzazione libera: condizioni necessarie del primo ordine (c.d.) e condizioni sufficienti del secondo ordine per l’esistenza di massimi e minimi locali, cenni al caso globale in ipotesi di concavità/convessità.
Parte III: Funzioni reali di più variabili reali - Ottimizzazione libera e vincolata
Funzioni vettoriali e matrice Jacobiana. Derivazione di funzione composta. Teorema della funzione implicita. Seconda proprietà del gradiente (c.d.). Ottimizzazione vincolata: vincoli di uguaglianza e vincoli di disuguaglianza. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange (c.d. geometrica). Condizioni del secondo ordine per l’esistenza di massimi o minimi locali con vincolo di uguaglianza (Hessiana orlata). Caso globale con vincolo compatto. Rappresentazione geometrica del problema vincolato. Cenni alle CN di Khun-Tucker. Funzioni omogenee: definizione e proprietà geometriche. Teorema di Eulero (c.d.). Applicazioni economiche: il problema del consumatore.
Parte IV: Equazioni differenziali ordinarie e sistemi di equazioni differenziali
Definizioni ed esempi. Modello di crescita Malthusiana. Problema di Cauchy. Teorema generale di esistenza ed unicità della soluzione (cenni). Equazioni differenziali lineari del I ordine: struttura delle soluzioni, il caso a coefficienti costanti, la formula generale per le soluzioni. Equazioni a variabili separabili. Equazioni differenziali lineari del II ordine: struttura delle soluzioni, il caso a coefficienti costanti, il caso omogeneo e il principio di somiglianza. Modello di crescita logistica. Applicazioni economiche. Sistemi di equazioni differenziali bidimensionali del I ordine. Sistemi di equazioni differenziali lineari del I ordine a coefficienti costanti: metodo risolutivo tramite autovalori, stati stazionari e loro stabilità. Applicazioni economiche.
(c.d. = con dimostrazione)
Testi Adottati
Simon & Blume: “Matematica per le scienze economiche” ed. Egea.Altro materiale sarà disponibile nella classe Moodle del corso
Altri libri di testo:
Mastroeni L. e Mazzoccoli A.: “Matematica per le applicazioni economiche” ed. Pearson.
Bibliografia Di Riferimento
Eventuale ulteriore materiale didattico sarà disponibile per gli studenti online sulla pagina web del corso in Moodle.Modalità Erogazione
Lezione frontale. Esercitazioni. Uso della lavagna grafica e registrazioni disponibili al termine del corso.Modalità Valutazione
L'esame sarà costituito da una prova scritta ed una prova orale. La prova scritta sarà composta da esercizi o domande teoriche riguardanti tutto il programma del corso comprese le dimostrazioni dei risultati indicati nel programma con "(c.d.)". La prova orale consisterà in una o più domande su tutto il programma svolto. Il corso prevedere prove in itinere. Autorizzazione a sostenere l'esame in lingua inglese.
scheda docente
materiale didattico
Lo spazio vettoriale reale n-dimensionale. Norma e distanza euclidea nello spazio vettoriale reale n-dimensionale. Prodotto scalare di vettori. Topologia e metrica nello spazio vettoriale reale n-dimensionale. Dipendenza e indipendenza lineare. Basi. Sottospazi e spazi generati da vettori. Autovalori e autovettori. Diagonalizzazione di matrici. Proprietà degli autovalori.
Parte II: Funzioni reali di più variabili reali – Generalità, calcolo differenziale e ottimizzazione libera
Funzioni definite tra spazi euclidei. Grafici e curve di livello. Funzioni lineari e teorema di rappresentazione (c.d.). Funzioni quadratiche e teorema di rappresentazione. Funzioni continue e Teorema di Weierstrass. Funzioni concave o convesse. Derivate parziali e gradiente. Differenziale. Derivata lungo una curva e derivata direzionale. Prima proprietà del gradiente (c.d.). Derivate di ordine superiore. Teorema di Schwarz. Matrice Hessiana. Segno di una forma quadratica. Criterio dei MPNO. Criterio dei MP. Definizione di massimo o minimo locale e globale. Ottimizzazione libera: condizioni necessarie del primo ordine (c.d.) e condizioni sufficienti del secondo ordine per l’esistenza di massimi e minimi locali, cenni al caso globale in ipotesi di concavità/convessità.
Parte III: Funzioni reali di più variabili reali - Ottimizzazione libera e vincolata
Funzioni vettoriali e matrice Jacobiana. Derivazione di funzione composta. Teorema della funzione implicita. Seconda proprietà del gradiente (c.d.). Ottimizzazione vincolata: vincoli di uguaglianza e vincoli di disuguaglianza. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange (c.d. geometrica). Condizioni del secondo ordine per l’esistenza di massimi o minimi locali con vincolo di uguaglianza (Hessiana orlata). Caso globale con vincolo compatto. Rappresentazione geometrica del problema vincolato. Cenni alle CN di Khun-Tucker. Funzioni omogenee: definizione e proprietà geometriche. Teorema di Eulero (c.d.). Applicazioni economiche: il problema del consumatore.
Parte IV: Equazioni differenziali ordinarie e sistemi di equazioni differenziali
Definizioni ed esempi. Modello di crescita Malthusiana. Problema di Cauchy. Teorema generale di esistenza ed unicità della soluzione (cenni). Equazioni differenziali lineari del I ordine: struttura delle soluzioni, il caso a coefficienti costanti, la formula generale per le soluzioni. Equazioni a variabili separabili. Equazioni differenziali lineari del II ordine: struttura delle soluzioni, il caso a coefficienti costanti, il caso omogeneo e il principio di somiglianza. Modello di crescita logistica. Applicazioni economiche. Sistemi di equazioni differenziali bidimensionali del I ordine. Sistemi di equazioni differenziali lineari del I ordine a coefficienti costanti: metodo risolutivo tramite autovalori, stati stazionari e loro stabilità. Applicazioni economiche.
(c.d. = con dimostrazione)
Altro materiale sarà disponibile nella classe Moodle del corso
Altri libri di testo:
Mastroeni L. e Mazzoccoli A.: “Matematica per le applicazioni economiche” ed. Pearson.
Programma
Parte I: Algebra lineareLo spazio vettoriale reale n-dimensionale. Norma e distanza euclidea nello spazio vettoriale reale n-dimensionale. Prodotto scalare di vettori. Topologia e metrica nello spazio vettoriale reale n-dimensionale. Dipendenza e indipendenza lineare. Basi. Sottospazi e spazi generati da vettori. Autovalori e autovettori. Diagonalizzazione di matrici. Proprietà degli autovalori.
Parte II: Funzioni reali di più variabili reali – Generalità, calcolo differenziale e ottimizzazione libera
Funzioni definite tra spazi euclidei. Grafici e curve di livello. Funzioni lineari e teorema di rappresentazione (c.d.). Funzioni quadratiche e teorema di rappresentazione. Funzioni continue e Teorema di Weierstrass. Funzioni concave o convesse. Derivate parziali e gradiente. Differenziale. Derivata lungo una curva e derivata direzionale. Prima proprietà del gradiente (c.d.). Derivate di ordine superiore. Teorema di Schwarz. Matrice Hessiana. Segno di una forma quadratica. Criterio dei MPNO. Criterio dei MP. Definizione di massimo o minimo locale e globale. Ottimizzazione libera: condizioni necessarie del primo ordine (c.d.) e condizioni sufficienti del secondo ordine per l’esistenza di massimi e minimi locali, cenni al caso globale in ipotesi di concavità/convessità.
Parte III: Funzioni reali di più variabili reali - Ottimizzazione libera e vincolata
Funzioni vettoriali e matrice Jacobiana. Derivazione di funzione composta. Teorema della funzione implicita. Seconda proprietà del gradiente (c.d.). Ottimizzazione vincolata: vincoli di uguaglianza e vincoli di disuguaglianza. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange (c.d. geometrica). Condizioni del secondo ordine per l’esistenza di massimi o minimi locali con vincolo di uguaglianza (Hessiana orlata). Caso globale con vincolo compatto. Rappresentazione geometrica del problema vincolato. Cenni alle CN di Khun-Tucker. Funzioni omogenee: definizione e proprietà geometriche. Teorema di Eulero (c.d.). Applicazioni economiche: il problema del consumatore.
Parte IV: Equazioni differenziali ordinarie e sistemi di equazioni differenziali
Definizioni ed esempi. Modello di crescita Malthusiana. Problema di Cauchy. Teorema generale di esistenza ed unicità della soluzione (cenni). Equazioni differenziali lineari del I ordine: struttura delle soluzioni, il caso a coefficienti costanti, la formula generale per le soluzioni. Equazioni a variabili separabili. Equazioni differenziali lineari del II ordine: struttura delle soluzioni, il caso a coefficienti costanti, il caso omogeneo e il principio di somiglianza. Modello di crescita logistica. Applicazioni economiche. Sistemi di equazioni differenziali bidimensionali del I ordine. Sistemi di equazioni differenziali lineari del I ordine a coefficienti costanti: metodo risolutivo tramite autovalori, stati stazionari e loro stabilità. Applicazioni economiche.
(c.d. = con dimostrazione)
Testi Adottati
Simon & Blume: “Matematica per le scienze economiche” ed. Egea.Altro materiale sarà disponibile nella classe Moodle del corso
Altri libri di testo:
Mastroeni L. e Mazzoccoli A.: “Matematica per le applicazioni economiche” ed. Pearson.
Bibliografia Di Riferimento
Eventuale ulteriore materiale didattico sarà disponibile per gli studenti online sulla pagina web del corso in Moodle.Modalità Erogazione
Lezione frontale. Esercitazioni. Uso della lavagna grafica e registrazioni disponibili al termine del corso.Modalità Valutazione
L'esame sarà costituito da una prova scritta ed una prova orale. La prova scritta sarà composta da esercizi o domande teoriche riguardanti tutto il programma del corso comprese le dimostrazioni dei risultati indicati nel programma con "(c.d.)". La prova orale consisterà in una o più domande su tutto il programma svolto. Il corso prevedere prove in itinere. Autorizzazione a sostenere l'esame in lingua inglese.
scheda docente
materiale didattico
Lo spazio vettoriale reale n-dimensionale. Norma e distanza euclidea nello spazio vettoriale reale n-dimensionale. Prodotto scalare di vettori. Topologia e metrica nello spazio vettoriale reale n-dimensionale. Dipendenza e indipendenza lineare. Basi. Sottospazi e spazi generati da vettori. Autovalori e autovettori. Diagonalizzazione di matrici. Proprietà degli autovalori.
Parte II: Funzioni reali di più variabili reali – Generalità, calcolo differenziale e ottimizzazione libera
Funzioni definite tra spazi euclidei. Grafici e curve di livello. Funzioni lineari e teorema di rappresentazione (c.d.). Funzioni quadratiche e teorema di rappresentazione. Funzioni continue e Teorema di Weierstrass. Funzioni concave o convesse. Derivate parziali e gradiente. Differenziale. Derivata lungo una curva e derivata direzionale. Prima proprietà del gradiente (c.d.). Derivate di ordine superiore. Teorema di Schwarz. Matrice Hessiana. Segno di una forma quadratica. Criterio dei MPNO. Criterio dei MP. Definizione di massimo o minimo locale e globale. Ottimizzazione libera: condizioni necessarie del primo ordine (c.d.) e condizioni sufficienti del secondo ordine per l’esistenza di massimi e minimi locali, cenni al caso globale in ipotesi di concavità/convessità.
Parte III: Funzioni reali di più variabili reali - Ottimizzazione libera e vincolata
Funzioni vettoriali e matrice Jacobiana. Derivazione di funzione composta. Teorema della funzione implicita. Seconda proprietà del gradiente (c.d.). Ottimizzazione vincolata: vincoli di uguaglianza e vincoli di disuguaglianza. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange (c.d. geometrica). Condizioni del secondo ordine per l’esistenza di massimi o minimi locali con vincolo di uguaglianza (Hessiana orlata). Caso globale con vincolo compatto. Rappresentazione geometrica del problema vincolato. Cenni alle CN di Khun-Tucker. Funzioni omogenee: definizione e proprietà geometriche. Teorema di Eulero (c.d.). Applicazioni economiche: il problema del consumatore.
Parte IV: Equazioni differenziali ordinarie e sistemi di equazioni differenziali
Definizioni ed esempi. Modello di crescita Malthusiana. Problema di Cauchy. Teorema generale di esistenza ed unicità della soluzione (cenni). Equazioni differenziali lineari del I ordine: struttura delle soluzioni, il caso a coefficienti costanti, la formula generale per le soluzioni. Equazioni a variabili separabili. Equazioni differenziali lineari del II ordine: struttura delle soluzioni, il caso a coefficienti costanti, il caso omogeneo e il principio di somiglianza. Modello di crescita logistica. Applicazioni economiche. Sistemi di equazioni differenziali bidimensionali del I ordine. Sistemi di equazioni differenziali lineari del I ordine a coefficienti costanti: metodo risolutivo tramite autovalori, stati stazionari e loro stabilità. Applicazioni economiche.
(c.d. = con dimostrazione)
Altro materiale sarà disponibile nella classe Moodle del corso
Altri libri di testo:
Mastroeni L. e Mazzoccoli A.: “Matematica per le applicazioni economiche” ed. Pearson.
Programma
Parte I: Algebra lineareLo spazio vettoriale reale n-dimensionale. Norma e distanza euclidea nello spazio vettoriale reale n-dimensionale. Prodotto scalare di vettori. Topologia e metrica nello spazio vettoriale reale n-dimensionale. Dipendenza e indipendenza lineare. Basi. Sottospazi e spazi generati da vettori. Autovalori e autovettori. Diagonalizzazione di matrici. Proprietà degli autovalori.
Parte II: Funzioni reali di più variabili reali – Generalità, calcolo differenziale e ottimizzazione libera
Funzioni definite tra spazi euclidei. Grafici e curve di livello. Funzioni lineari e teorema di rappresentazione (c.d.). Funzioni quadratiche e teorema di rappresentazione. Funzioni continue e Teorema di Weierstrass. Funzioni concave o convesse. Derivate parziali e gradiente. Differenziale. Derivata lungo una curva e derivata direzionale. Prima proprietà del gradiente (c.d.). Derivate di ordine superiore. Teorema di Schwarz. Matrice Hessiana. Segno di una forma quadratica. Criterio dei MPNO. Criterio dei MP. Definizione di massimo o minimo locale e globale. Ottimizzazione libera: condizioni necessarie del primo ordine (c.d.) e condizioni sufficienti del secondo ordine per l’esistenza di massimi e minimi locali, cenni al caso globale in ipotesi di concavità/convessità.
Parte III: Funzioni reali di più variabili reali - Ottimizzazione libera e vincolata
Funzioni vettoriali e matrice Jacobiana. Derivazione di funzione composta. Teorema della funzione implicita. Seconda proprietà del gradiente (c.d.). Ottimizzazione vincolata: vincoli di uguaglianza e vincoli di disuguaglianza. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange (c.d. geometrica). Condizioni del secondo ordine per l’esistenza di massimi o minimi locali con vincolo di uguaglianza (Hessiana orlata). Caso globale con vincolo compatto. Rappresentazione geometrica del problema vincolato. Cenni alle CN di Khun-Tucker. Funzioni omogenee: definizione e proprietà geometriche. Teorema di Eulero (c.d.). Applicazioni economiche: il problema del consumatore.
Parte IV: Equazioni differenziali ordinarie e sistemi di equazioni differenziali
Definizioni ed esempi. Modello di crescita Malthusiana. Problema di Cauchy. Teorema generale di esistenza ed unicità della soluzione (cenni). Equazioni differenziali lineari del I ordine: struttura delle soluzioni, il caso a coefficienti costanti, la formula generale per le soluzioni. Equazioni a variabili separabili. Equazioni differenziali lineari del II ordine: struttura delle soluzioni, il caso a coefficienti costanti, il caso omogeneo e il principio di somiglianza. Modello di crescita logistica. Applicazioni economiche. Sistemi di equazioni differenziali bidimensionali del I ordine. Sistemi di equazioni differenziali lineari del I ordine a coefficienti costanti: metodo risolutivo tramite autovalori, stati stazionari e loro stabilità. Applicazioni economiche.
(c.d. = con dimostrazione)
Testi Adottati
Simon & Blume: “Matematica per le scienze economiche” ed. Egea.Altro materiale sarà disponibile nella classe Moodle del corso
Altri libri di testo:
Mastroeni L. e Mazzoccoli A.: “Matematica per le applicazioni economiche” ed. Pearson.
Bibliografia Di Riferimento
Eventuale ulteriore materiale didattico sarà disponibile per gli studenti online sulla pagina web del corso in Moodle.Modalità Erogazione
Lezione frontale. Esercitazioni. Uso della lavagna grafica e registrazioni disponibili al termine del corso.Modalità Valutazione
L'esame sarà costituito da una prova scritta ed una prova orale. La prova scritta sarà composta da esercizi o domande teoriche riguardanti tutto il programma del corso comprese le dimostrazioni dei risultati indicati nel programma con "(c.d.)". La prova orale consisterà in una o più domande su tutto il programma svolto. Il corso prevedere prove in itinere. Autorizzazione a sostenere l'esame in lingua inglese.
scheda docente
materiale didattico
Lo spazio vettoriale reale n-dimensionale. Norma e distanza euclidea nello spazio vettoriale reale n-dimensionale. Prodotto scalare di vettori. Topologia e metrica nello spazio vettoriale reale n-dimensionale. Dipendenza e indipendenza lineare. Basi. Sottospazi e spazi generati da vettori. Autovalori e autovettori. Diagonalizzazione di matrici. Proprietà degli autovalori.
Parte II: Funzioni reali di più variabili reali – Generalità, calcolo differenziale e ottimizzazione libera
Funzioni definite tra spazi euclidei. Grafici e curve di livello. Funzioni lineari e teorema di rappresentazione (c.d.). Funzioni quadratiche e teorema di rappresentazione. Funzioni continue e Teorema di Weierstrass. Funzioni concave o convesse. Derivate parziali e gradiente. Differenziale. Derivata lungo una curva e derivata direzionale. Prima proprietà del gradiente (c.d.). Derivate di ordine superiore. Teorema di Schwarz. Matrice Hessiana. Segno di una forma quadratica. Criterio dei MPNO. Criterio dei MP. Definizione di massimo o minimo locale e globale. Ottimizzazione libera: condizioni necessarie del primo ordine (c.d.) e condizioni sufficienti del secondo ordine per l’esistenza di massimi e minimi locali, cenni al caso globale in ipotesi di concavità/convessità.
Parte III: Funzioni reali di più variabili reali - Ottimizzazione libera e vincolata
Funzioni vettoriali e matrice Jacobiana. Derivazione di funzione composta. Teorema della funzione implicita. Seconda proprietà del gradiente (c.d.). Ottimizzazione vincolata: vincoli di uguaglianza e vincoli di disuguaglianza. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange (c.d. geometrica). Condizioni del secondo ordine per l’esistenza di massimi o minimi locali con vincolo di uguaglianza (Hessiana orlata). Caso globale con vincolo compatto. Rappresentazione geometrica del problema vincolato. Cenni alle CN di Khun-Tucker. Funzioni omogenee: definizione e proprietà geometriche. Teorema di Eulero (c.d.). Applicazioni economiche: il problema del consumatore.
Parte IV: Equazioni differenziali ordinarie e sistemi di equazioni differenziali
Definizioni ed esempi. Modello di crescita Malthusiana. Problema di Cauchy. Teorema generale di esistenza ed unicità della soluzione (cenni). Equazioni differenziali lineari del I ordine: struttura delle soluzioni, il caso a coefficienti costanti, la formula generale per le soluzioni. Equazioni a variabili separabili. Equazioni differenziali lineari del II ordine: struttura delle soluzioni, il caso a coefficienti costanti, il caso omogeneo e il principio di somiglianza. Modello di crescita logistica. Applicazioni economiche. Sistemi di equazioni differenziali bidimensionali del I ordine. Sistemi di equazioni differenziali lineari del I ordine a coefficienti costanti: metodo risolutivo tramite autovalori, stati stazionari e loro stabilità. Applicazioni economiche.
(c.d. = con dimostrazione)
Altro materiale sarà disponibile nella classe Moodle del corso
Altri libri di testo:
Mastroeni L. e Mazzoccoli A.: “Matematica per le applicazioni economiche” ed. Pearson.
Programma
Parte I: Algebra lineareLo spazio vettoriale reale n-dimensionale. Norma e distanza euclidea nello spazio vettoriale reale n-dimensionale. Prodotto scalare di vettori. Topologia e metrica nello spazio vettoriale reale n-dimensionale. Dipendenza e indipendenza lineare. Basi. Sottospazi e spazi generati da vettori. Autovalori e autovettori. Diagonalizzazione di matrici. Proprietà degli autovalori.
Parte II: Funzioni reali di più variabili reali – Generalità, calcolo differenziale e ottimizzazione libera
Funzioni definite tra spazi euclidei. Grafici e curve di livello. Funzioni lineari e teorema di rappresentazione (c.d.). Funzioni quadratiche e teorema di rappresentazione. Funzioni continue e Teorema di Weierstrass. Funzioni concave o convesse. Derivate parziali e gradiente. Differenziale. Derivata lungo una curva e derivata direzionale. Prima proprietà del gradiente (c.d.). Derivate di ordine superiore. Teorema di Schwarz. Matrice Hessiana. Segno di una forma quadratica. Criterio dei MPNO. Criterio dei MP. Definizione di massimo o minimo locale e globale. Ottimizzazione libera: condizioni necessarie del primo ordine (c.d.) e condizioni sufficienti del secondo ordine per l’esistenza di massimi e minimi locali, cenni al caso globale in ipotesi di concavità/convessità.
Parte III: Funzioni reali di più variabili reali - Ottimizzazione libera e vincolata
Funzioni vettoriali e matrice Jacobiana. Derivazione di funzione composta. Teorema della funzione implicita. Seconda proprietà del gradiente (c.d.). Ottimizzazione vincolata: vincoli di uguaglianza e vincoli di disuguaglianza. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange (c.d. geometrica). Condizioni del secondo ordine per l’esistenza di massimi o minimi locali con vincolo di uguaglianza (Hessiana orlata). Caso globale con vincolo compatto. Rappresentazione geometrica del problema vincolato. Cenni alle CN di Khun-Tucker. Funzioni omogenee: definizione e proprietà geometriche. Teorema di Eulero (c.d.). Applicazioni economiche: il problema del consumatore.
Parte IV: Equazioni differenziali ordinarie e sistemi di equazioni differenziali
Definizioni ed esempi. Modello di crescita Malthusiana. Problema di Cauchy. Teorema generale di esistenza ed unicità della soluzione (cenni). Equazioni differenziali lineari del I ordine: struttura delle soluzioni, il caso a coefficienti costanti, la formula generale per le soluzioni. Equazioni a variabili separabili. Equazioni differenziali lineari del II ordine: struttura delle soluzioni, il caso a coefficienti costanti, il caso omogeneo e il principio di somiglianza. Modello di crescita logistica. Applicazioni economiche. Sistemi di equazioni differenziali bidimensionali del I ordine. Sistemi di equazioni differenziali lineari del I ordine a coefficienti costanti: metodo risolutivo tramite autovalori, stati stazionari e loro stabilità. Applicazioni economiche.
(c.d. = con dimostrazione)
Testi Adottati
Simon & Blume: “Matematica per le scienze economiche” ed. Egea.Altro materiale sarà disponibile nella classe Moodle del corso
Altri libri di testo:
Mastroeni L. e Mazzoccoli A.: “Matematica per le applicazioni economiche” ed. Pearson.
Bibliografia Di Riferimento
Eventuale ulteriore materiale didattico sarà disponibile per gli studenti online sulla pagina web del corso in Moodle.Modalità Erogazione
Lezione frontale. Esercitazioni. Uso della lavagna grafica e registrazioni disponibili al termine del corso.Modalità Valutazione
L'esame sarà costituito da una prova scritta ed una prova orale. La prova scritta sarà composta da esercizi o domande teoriche riguardanti tutto il programma del corso comprese le dimostrazioni dei risultati indicati nel programma con "(c.d.)". La prova orale consisterà in una o più domande su tutto il programma svolto. Il corso prevedere prove in itinere. Autorizzazione a sostenere l'esame in lingua inglese.
scheda docente
materiale didattico
Lo spazio vettoriale reale n-dimensionale. Norma e distanza euclidea nello spazio vettoriale reale n-dimensionale. Prodotto scalare di vettori. Topologia e metrica nello spazio vettoriale reale n-dimensionale. Dipendenza e indipendenza lineare. Basi. Sottospazi e spazi generati da vettori. Autovalori e autovettori. Diagonalizzazione di matrici. Proprietà degli autovalori.
Parte II: Funzioni reali di più variabili reali – Generalità, calcolo differenziale e ottimizzazione libera
Funzioni definite tra spazi euclidei. Grafici e curve di livello. Funzioni lineari e teorema di rappresentazione (c.d.). Funzioni quadratiche e teorema di rappresentazione. Funzioni continue e Teorema di Weierstrass. Funzioni concave o convesse. Derivate parziali e gradiente. Differenziale. Derivata lungo una curva e derivata direzionale. Prima proprietà del gradiente (c.d.). Derivate di ordine superiore. Teorema di Schwarz. Matrice Hessiana. Segno di una forma quadratica. Criterio dei MPNO. Criterio dei MP. Definizione di massimo o minimo locale e globale. Ottimizzazione libera: condizioni necessarie del primo ordine (c.d.) e condizioni sufficienti del secondo ordine per l’esistenza di massimi e minimi locali, cenni al caso globale in ipotesi di concavità/convessità.
Parte III: Funzioni reali di più variabili reali - Ottimizzazione libera e vincolata
Funzioni vettoriali e matrice Jacobiana. Derivazione di funzione composta. Teorema della funzione implicita. Seconda proprietà del gradiente (c.d.). Ottimizzazione vincolata: vincoli di uguaglianza e vincoli di disuguaglianza. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange (c.d. geometrica). Condizioni del secondo ordine per l’esistenza di massimi o minimi locali con vincolo di uguaglianza (Hessiana orlata). Caso globale con vincolo compatto. Rappresentazione geometrica del problema vincolato. Cenni alle CN di Khun-Tucker. Funzioni omogenee: definizione e proprietà geometriche. Teorema di Eulero (c.d.). Applicazioni economiche: il problema del consumatore.
Parte IV: Equazioni differenziali ordinarie e sistemi di equazioni differenziali
Definizioni ed esempi. Modello di crescita Malthusiana. Problema di Cauchy. Teorema generale di esistenza ed unicità della soluzione (cenni). Equazioni differenziali lineari del I ordine: struttura delle soluzioni, il caso a coefficienti costanti, la formula generale per le soluzioni. Equazioni a variabili separabili. Equazioni differenziali lineari del II ordine: struttura delle soluzioni, il caso a coefficienti costanti, il caso omogeneo e il principio di somiglianza. Modello di crescita logistica. Applicazioni economiche. Sistemi di equazioni differenziali bidimensionali del I ordine. Sistemi di equazioni differenziali lineari del I ordine a coefficienti costanti: metodo risolutivo tramite autovalori, stati stazionari e loro stabilità. Applicazioni economiche.
(c.d. = con dimostrazione)
Altro materiale sarà disponibile nella classe Moodle del corso
Altri libri di testo:
Mastroeni L. e Mazzoccoli A.: “Matematica per le applicazioni economiche” ed. Pearson.
Programma
Parte I: Algebra lineareLo spazio vettoriale reale n-dimensionale. Norma e distanza euclidea nello spazio vettoriale reale n-dimensionale. Prodotto scalare di vettori. Topologia e metrica nello spazio vettoriale reale n-dimensionale. Dipendenza e indipendenza lineare. Basi. Sottospazi e spazi generati da vettori. Autovalori e autovettori. Diagonalizzazione di matrici. Proprietà degli autovalori.
Parte II: Funzioni reali di più variabili reali – Generalità, calcolo differenziale e ottimizzazione libera
Funzioni definite tra spazi euclidei. Grafici e curve di livello. Funzioni lineari e teorema di rappresentazione (c.d.). Funzioni quadratiche e teorema di rappresentazione. Funzioni continue e Teorema di Weierstrass. Funzioni concave o convesse. Derivate parziali e gradiente. Differenziale. Derivata lungo una curva e derivata direzionale. Prima proprietà del gradiente (c.d.). Derivate di ordine superiore. Teorema di Schwarz. Matrice Hessiana. Segno di una forma quadratica. Criterio dei MPNO. Criterio dei MP. Definizione di massimo o minimo locale e globale. Ottimizzazione libera: condizioni necessarie del primo ordine (c.d.) e condizioni sufficienti del secondo ordine per l’esistenza di massimi e minimi locali, cenni al caso globale in ipotesi di concavità/convessità.
Parte III: Funzioni reali di più variabili reali - Ottimizzazione libera e vincolata
Funzioni vettoriali e matrice Jacobiana. Derivazione di funzione composta. Teorema della funzione implicita. Seconda proprietà del gradiente (c.d.). Ottimizzazione vincolata: vincoli di uguaglianza e vincoli di disuguaglianza. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange (c.d. geometrica). Condizioni del secondo ordine per l’esistenza di massimi o minimi locali con vincolo di uguaglianza (Hessiana orlata). Caso globale con vincolo compatto. Rappresentazione geometrica del problema vincolato. Cenni alle CN di Khun-Tucker. Funzioni omogenee: definizione e proprietà geometriche. Teorema di Eulero (c.d.). Applicazioni economiche: il problema del consumatore.
Parte IV: Equazioni differenziali ordinarie e sistemi di equazioni differenziali
Definizioni ed esempi. Modello di crescita Malthusiana. Problema di Cauchy. Teorema generale di esistenza ed unicità della soluzione (cenni). Equazioni differenziali lineari del I ordine: struttura delle soluzioni, il caso a coefficienti costanti, la formula generale per le soluzioni. Equazioni a variabili separabili. Equazioni differenziali lineari del II ordine: struttura delle soluzioni, il caso a coefficienti costanti, il caso omogeneo e il principio di somiglianza. Modello di crescita logistica. Applicazioni economiche. Sistemi di equazioni differenziali bidimensionali del I ordine. Sistemi di equazioni differenziali lineari del I ordine a coefficienti costanti: metodo risolutivo tramite autovalori, stati stazionari e loro stabilità. Applicazioni economiche.
(c.d. = con dimostrazione)
Testi Adottati
Simon & Blume: “Matematica per le scienze economiche” ed. Egea.Altro materiale sarà disponibile nella classe Moodle del corso
Altri libri di testo:
Mastroeni L. e Mazzoccoli A.: “Matematica per le applicazioni economiche” ed. Pearson.
Bibliografia Di Riferimento
Eventuale ulteriore materiale didattico sarà disponibile per gli studenti online sulla pagina web del corso in Moodle.Modalità Erogazione
Lezione frontale. Esercitazioni. Uso della lavagna grafica e registrazioni disponibili al termine del corso.Modalità Valutazione
L'esame sarà costituito da una prova scritta ed una prova orale. La prova scritta sarà composta da esercizi o domande teoriche riguardanti tutto il programma del corso comprese le dimostrazioni dei risultati indicati nel programma con "(c.d.)". La prova orale consisterà in una o più domande su tutto il programma svolto. Il corso prevedere prove in itinere. Autorizzazione a sostenere l'esame in lingua inglese.
scheda docente
materiale didattico
Lo spazio vettoriale reale n-dimensionale. Norma e distanza euclidea nello spazio vettoriale reale n-dimensionale. Prodotto scalare di vettori. Topologia e metrica nello spazio vettoriale reale n-dimensionale. Dipendenza e indipendenza lineare. Basi. Sottospazi e spazi generati da vettori. Autovalori e autovettori. Diagonalizzazione di matrici. Proprietà degli autovalori.
Parte II: Funzioni reali di più variabili reali – Generalità, calcolo differenziale e ottimizzazione libera
Funzioni definite tra spazi euclidei. Grafici e curve di livello. Funzioni lineari e teorema di rappresentazione (c.d.). Funzioni quadratiche e teorema di rappresentazione. Funzioni continue e Teorema di Weierstrass. Funzioni concave o convesse. Derivate parziali e gradiente. Differenziale. Derivata lungo una curva e derivata direzionale. Prima proprietà del gradiente (c.d.). Derivate di ordine superiore. Teorema di Schwarz. Matrice Hessiana. Segno di una forma quadratica. Criterio dei MPNO. Criterio dei MP. Definizione di massimo o minimo locale e globale. Ottimizzazione libera: condizioni necessarie del primo ordine (c.d.) e condizioni sufficienti del secondo ordine per l’esistenza di massimi e minimi locali, cenni al caso globale in ipotesi di concavità/convessità.
Parte III: Funzioni reali di più variabili reali - Ottimizzazione libera e vincolata
Funzioni vettoriali e matrice Jacobiana. Derivazione di funzione composta. Teorema della funzione implicita. Seconda proprietà del gradiente (c.d.). Ottimizzazione vincolata: vincoli di uguaglianza e vincoli di disuguaglianza. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange (c.d. geometrica). Condizioni del secondo ordine per l’esistenza di massimi o minimi locali con vincolo di uguaglianza (Hessiana orlata). Caso globale con vincolo compatto. Rappresentazione geometrica del problema vincolato. Cenni alle CN di Khun-Tucker. Funzioni omogenee: definizione e proprietà geometriche. Teorema di Eulero (c.d.). Applicazioni economiche: il problema del consumatore.
Parte IV: Equazioni differenziali ordinarie e sistemi di equazioni differenziali
Definizioni ed esempi. Modello di crescita Malthusiana. Problema di Cauchy. Teorema generale di esistenza ed unicità della soluzione (cenni). Equazioni differenziali lineari del I ordine: struttura delle soluzioni, il caso a coefficienti costanti, la formula generale per le soluzioni. Equazioni a variabili separabili. Equazioni differenziali lineari del II ordine: struttura delle soluzioni, il caso a coefficienti costanti, il caso omogeneo e il principio di somiglianza. Modello di crescita logistica. Applicazioni economiche. Sistemi di equazioni differenziali bidimensionali del I ordine. Sistemi di equazioni differenziali lineari del I ordine a coefficienti costanti: metodo risolutivo tramite autovalori, stati stazionari e loro stabilità. Applicazioni economiche.
(c.d. = con dimostrazione)
Altro materiale sarà disponibile nella classe Moodle del corso
Altri libri di testo:
Mastroeni L. e Mazzoccoli A.: “Matematica per le applicazioni economiche” ed. Pearson.
Programma
Parte I: Algebra lineareLo spazio vettoriale reale n-dimensionale. Norma e distanza euclidea nello spazio vettoriale reale n-dimensionale. Prodotto scalare di vettori. Topologia e metrica nello spazio vettoriale reale n-dimensionale. Dipendenza e indipendenza lineare. Basi. Sottospazi e spazi generati da vettori. Autovalori e autovettori. Diagonalizzazione di matrici. Proprietà degli autovalori.
Parte II: Funzioni reali di più variabili reali – Generalità, calcolo differenziale e ottimizzazione libera
Funzioni definite tra spazi euclidei. Grafici e curve di livello. Funzioni lineari e teorema di rappresentazione (c.d.). Funzioni quadratiche e teorema di rappresentazione. Funzioni continue e Teorema di Weierstrass. Funzioni concave o convesse. Derivate parziali e gradiente. Differenziale. Derivata lungo una curva e derivata direzionale. Prima proprietà del gradiente (c.d.). Derivate di ordine superiore. Teorema di Schwarz. Matrice Hessiana. Segno di una forma quadratica. Criterio dei MPNO. Criterio dei MP. Definizione di massimo o minimo locale e globale. Ottimizzazione libera: condizioni necessarie del primo ordine (c.d.) e condizioni sufficienti del secondo ordine per l’esistenza di massimi e minimi locali, cenni al caso globale in ipotesi di concavità/convessità.
Parte III: Funzioni reali di più variabili reali - Ottimizzazione libera e vincolata
Funzioni vettoriali e matrice Jacobiana. Derivazione di funzione composta. Teorema della funzione implicita. Seconda proprietà del gradiente (c.d.). Ottimizzazione vincolata: vincoli di uguaglianza e vincoli di disuguaglianza. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange (c.d. geometrica). Condizioni del secondo ordine per l’esistenza di massimi o minimi locali con vincolo di uguaglianza (Hessiana orlata). Caso globale con vincolo compatto. Rappresentazione geometrica del problema vincolato. Cenni alle CN di Khun-Tucker. Funzioni omogenee: definizione e proprietà geometriche. Teorema di Eulero (c.d.). Applicazioni economiche: il problema del consumatore.
Parte IV: Equazioni differenziali ordinarie e sistemi di equazioni differenziali
Definizioni ed esempi. Modello di crescita Malthusiana. Problema di Cauchy. Teorema generale di esistenza ed unicità della soluzione (cenni). Equazioni differenziali lineari del I ordine: struttura delle soluzioni, il caso a coefficienti costanti, la formula generale per le soluzioni. Equazioni a variabili separabili. Equazioni differenziali lineari del II ordine: struttura delle soluzioni, il caso a coefficienti costanti, il caso omogeneo e il principio di somiglianza. Modello di crescita logistica. Applicazioni economiche. Sistemi di equazioni differenziali bidimensionali del I ordine. Sistemi di equazioni differenziali lineari del I ordine a coefficienti costanti: metodo risolutivo tramite autovalori, stati stazionari e loro stabilità. Applicazioni economiche.
(c.d. = con dimostrazione)
Testi Adottati
Simon & Blume: “Matematica per le scienze economiche” ed. Egea.Altro materiale sarà disponibile nella classe Moodle del corso
Altri libri di testo:
Mastroeni L. e Mazzoccoli A.: “Matematica per le applicazioni economiche” ed. Pearson.
Bibliografia Di Riferimento
Eventuale ulteriore materiale didattico sarà disponibile per gli studenti online sulla pagina web del corso in Moodle.Modalità Erogazione
Lezione frontale. Esercitazioni. Uso della lavagna grafica e registrazioni disponibili al termine del corso.Modalità Valutazione
L'esame sarà costituito da una prova scritta ed una prova orale. La prova scritta sarà composta da esercizi o domande teoriche riguardanti tutto il programma del corso comprese le dimostrazioni dei risultati indicati nel programma con "(c.d.)". La prova orale consisterà in una o più domande su tutto il programma svolto. Il corso prevedere prove in itinere. Autorizzazione a sostenere l'esame in lingua inglese.