L'obiettivo del corso è, da un lato, ampliare e consolidare l'acquisizione del metodo matematico come strumento di indagine fondamentale per le discipline economiche, finanziarie e aziendali; dall'altro, fornire le nozioni necessarie alla comprensione dei mercati e dei principali strumenti finanziari. In particolare, verranno forniti strumenti nel campo dell'analisi e della gestione del rischio nei mercati finanziari.
scheda docente
materiale didattico
Autovalori, autovettori, autospazio, matrici diagonalizzabili, diagonalizzazione di matrici, molteplicità
algebrica e geometrica, autovalori di matrici simmetriche, proprietà degli autovalori e autovettori, definizioni
e teoremi annessi.
Insiemi in R^2 e in R^n.
Topologia in R^2 Insiemi aperti, chiusi, compatti, limitati e illimitati, connessi, sconnessi, stellati e convessi.
Spazi metrici, spazi normati.
Funzioni reali di più variabili reali.
Funzioni definite tra spazi euclidei, grafici, dominio di funzione, funzioni limitate, funzioni continue, funzioni
concave e funzioni convesse.
Curve di Livello
Curve di livello per una funzione, curve di livello superiori e inferiori.
Segno di una matrice
Definizione, segno di una matrice attraverso il determinante e attraverso gli autovalori
Calcolo differenziale in più variabili.
Derivate parziali, gradiente, equazione del piano tangente e approssimazione lineare di una funzione,
derivate parziali di ordine superiore, matrice hessiana, teorema di Schwartz, funzioni di classe C^2, polinomio
di Taylor del secondo ordine, approssimazione del secondo ordine di una funzione.
Ottimizzazione libera.
Definizioni massimo, minimo locale e assoluto, punto di sella, condizioni del primo ordine, condizioni
sufficienti e condizioni necessarie. Condizioni del secondo ordine, ottimizzazione per funzioni convesse.
Parte sui grafi
Grafo orientato. Successore di un vertice. Grafo non orientato; esempi: grafo della famiglia Medici, numero
di Erdős. Archi e vertici incidenti, grafo vuoto, ordine e dimensione di un grafo, vicinato, multigrafo. Problema
dei ponti di Königsberg.
Grado di un vertice in un grafo non orientato. Vertici isolati. Lemma delle strette di mano e suo corollario.
Grado uscente e grado entrante per un grafo orientato. Grafo completo di ordine n. Grafo pesato.
Rappresentazione matematica di un grafo: non pesato e non orientato; non pesato e orientato; pesato e non
orientato; pesato e orientato; multigrafo. Matrice di adiacenza. Rappresentazione "parsimoniosa" di un
grafo.
Modello di Cucker - Smale. Modello di Galam e distribuzione binomiale.
Calcolo combinatorio: permutazioni e disposizioni. Calcolo combinatorio: disposizioni con ripetizione,
combinazioni, coefficiente binomiale, prima e seconda proprietà dei coefficienti binomiali.
Grafi isomorfi. Grafi isomorfi e matrici di permutazione (teorema). Grafi isomorfi e autovalori (teorema).
Condizioni necessarie per l’isomorfismo.
Definizione di cammino, lunghezza del cammino, cammino chiuso, cammini semplici. Teorema della potenza
k-esima della matrice di adiacenza. Sottografo, grafo connesso, ponte, cammino minimo, matrice delle
distanze, diametro del grafo, grafo soggiacente, grafo debolmente connesso, connessione forte, cammino
minimo per grafi pesati.
Cammino di peso minimo. Numero di cammini semplici in un grafo completo. Algoritmo di Dijkstra.
Cammini Euleriani su Grafi Non Orientati, soluzione del Problema dei Sette Ponti di Königsberg. Teorema sui
cammini Euleriani.
Misure di centralità, centralità di grado. Centralità di closeness e centralità di betweenness. Coefficiente di
clustering, grafo a stella e cricca. Coefficiente di clustering medio di un grafo, resilienza di un grafo.
Mastroeni - Mazzoccoli. Matematica per le applicazioni economiche PEARSON
Appunti e altro materiale scaricabile online dal corso sulla piattaforma Moodle
Programma
Parte sulle funzioniAutovalori, autovettori, autospazio, matrici diagonalizzabili, diagonalizzazione di matrici, molteplicità
algebrica e geometrica, autovalori di matrici simmetriche, proprietà degli autovalori e autovettori, definizioni
e teoremi annessi.
Insiemi in R^2 e in R^n.
Topologia in R^2 Insiemi aperti, chiusi, compatti, limitati e illimitati, connessi, sconnessi, stellati e convessi.
Spazi metrici, spazi normati.
Funzioni reali di più variabili reali.
Funzioni definite tra spazi euclidei, grafici, dominio di funzione, funzioni limitate, funzioni continue, funzioni
concave e funzioni convesse.
Curve di Livello
Curve di livello per una funzione, curve di livello superiori e inferiori.
Segno di una matrice
Definizione, segno di una matrice attraverso il determinante e attraverso gli autovalori
Calcolo differenziale in più variabili.
Derivate parziali, gradiente, equazione del piano tangente e approssimazione lineare di una funzione,
derivate parziali di ordine superiore, matrice hessiana, teorema di Schwartz, funzioni di classe C^2, polinomio
di Taylor del secondo ordine, approssimazione del secondo ordine di una funzione.
Ottimizzazione libera.
Definizioni massimo, minimo locale e assoluto, punto di sella, condizioni del primo ordine, condizioni
sufficienti e condizioni necessarie. Condizioni del secondo ordine, ottimizzazione per funzioni convesse.
Parte sui grafi
Grafo orientato. Successore di un vertice. Grafo non orientato; esempi: grafo della famiglia Medici, numero
di Erdős. Archi e vertici incidenti, grafo vuoto, ordine e dimensione di un grafo, vicinato, multigrafo. Problema
dei ponti di Königsberg.
Grado di un vertice in un grafo non orientato. Vertici isolati. Lemma delle strette di mano e suo corollario.
Grado uscente e grado entrante per un grafo orientato. Grafo completo di ordine n. Grafo pesato.
Rappresentazione matematica di un grafo: non pesato e non orientato; non pesato e orientato; pesato e non
orientato; pesato e orientato; multigrafo. Matrice di adiacenza. Rappresentazione "parsimoniosa" di un
grafo.
Modello di Cucker - Smale. Modello di Galam e distribuzione binomiale.
Calcolo combinatorio: permutazioni e disposizioni. Calcolo combinatorio: disposizioni con ripetizione,
combinazioni, coefficiente binomiale, prima e seconda proprietà dei coefficienti binomiali.
Grafi isomorfi. Grafi isomorfi e matrici di permutazione (teorema). Grafi isomorfi e autovalori (teorema).
Condizioni necessarie per l’isomorfismo.
Definizione di cammino, lunghezza del cammino, cammino chiuso, cammini semplici. Teorema della potenza
k-esima della matrice di adiacenza. Sottografo, grafo connesso, ponte, cammino minimo, matrice delle
distanze, diametro del grafo, grafo soggiacente, grafo debolmente connesso, connessione forte, cammino
minimo per grafi pesati.
Cammino di peso minimo. Numero di cammini semplici in un grafo completo. Algoritmo di Dijkstra.
Cammini Euleriani su Grafi Non Orientati, soluzione del Problema dei Sette Ponti di Königsberg. Teorema sui
cammini Euleriani.
Misure di centralità, centralità di grado. Centralità di closeness e centralità di betweenness. Coefficiente di
clustering, grafo a stella e cricca. Coefficiente di clustering medio di un grafo, resilienza di un grafo.
Testi Adottati
Consigliati: Mastroeni - Mazzoccoli. Matematica per le applicazioni economiche PEARSON
Appunti e altro materiale scaricabile online dal corso sulla piattaforma Moodle
Modalità Valutazione
L’esame sarà costituito da una prova scritta ed una orale. La prova scritta sarà composta da esercizi, domande teoriche riguardanti tutto il programma del corso. La prova orale è consigliata solo a chi superi lo scritto con almeno 18/30 e consisterà in una o più domande su tutto il programma comprese le dimostrazioni dei risultati indicati nel programma