Il corso è finalizzato all’acquisizione del metodo matematico come strumento di indagine fondamentale per le discipline economiche, finanziarie ed aziendali. Allo studente sarà fornito il bagaglio di base necessario per affrontare i più semplici problemi quantitativi che si pongono in ambito economico, finanziario ed aziendale. In particolare, si introdurranno i concetti fondamentali dell'analisi matematica per funzioni di una variabile necessarie per lo studio del grafico di una funzione e la soluzione di semplici problemi di ottimo, con particolare attenzione alle possibili applicazioni economiche dei concetti acquisiti. Si introdurranno anche elementi di calcolo integrale e di algebra lineare
Curriculum
Canali
scheda docente
materiale didattico
Sintassi e semantica. Connettivi logici. Condizione sufficiente, condizione necessaria, condizione necessaria e sufficiente. Dimostrazione diretta e costruttiva. Dimostrazione per assurdo.
Teoria degli insiemi
Insieme e appartenenza di un elemento. Concetti primitivi e derivati. Quantificatori. Diagrammi di Eulero-Venn. Sottoinsieme. Insieme vuoto e insieme universo. Unione e intersezione di insiemi. Insiemi disgiunti. Differenza tra insiemi.
Relazioni e funzioni – cenni iniziali
Relazioni e funzioni. Tabulazione di relazioni e funzioni.
Insiemi numerici
Insieme dei numeri naturali, interi relativi, razionali, irrazionali e reali. Teorema dell'irrazionalità della radice quadrata di due, con dimostrazione. Ordinamento e relazione di ordinamento. Assiomi basilari dell'ordinamento. Assioma di completezza e retta reale. Intervalli di numeri reali: intervalli chiusi e aperti. Maggiorante e minorante di un insieme. Estremo inferiore ed estremo superiore. Massimo e minimo di un insieme. Assioma di Dedekind, proprietà e implicazioni sugli intervalli reali. Insiemi illimitati superiormente e inferiormente. Ente matematico infinito.
Sommatorie
Definizione di sommatoria e relative proprietà. Somma degli inversi dei numeri naturali e risultato di Nicola d'Oresme. Somma dei primi n numeri naturali, somma di Gauss con dimostrazione. Somma geometrica con dimostrazione.
Funzioni reali
Definizione di funzione reale. Dominio e insieme immagine. Immagine e controimmagine. Prodotto cartesiano di due insiemi e piano reale. Grafico di una funzione. Funzione inversa. Iniettività, suriettività e invertibilità. Monotonia e stretta monotonia e loro relazione con l'invertibilità. Funzioni pari e dispari. Funzioni elementari e relative proprietà: dominio, insieme immagine, monotonia e invertibilità. Retta. Funzione potenza di grado pari e dispari. Funzione radice ennesima. Funzione esponenziale. Funzione logaritmo. Composizione di funzioni. Funzioni definite a più leggi. Funzione modulo. Operazioni sui grafici. Determinazione del dominio di una funzione. Successioni.
Topologia della retta
Intorno completo, intorno circolare, intorno destro e intorno sinistro. Intorno di infinito. Punto di accumulazione di un insieme. Punti isolati. Complementare di un insieme. Punti interni e punti di frontiera. Insiemi chiusi e insiemi aperti.
Limiti e continuità
Limite finito al finito, limite infinito al finito, limite finito all'infinito e limite infinito all'infinito. Limite destro e limite sinistro. Verifica di un limite. Asintoto verticale e asintoto orizzontale.
Teoremi sui limiti: unicità del limite, con dimostrazione; uguaglianza tra limite destro e limite sinistro, con dimostrazione; teorema di permanenza del segno, con dimostrazione.
Calcolo dei limiti di funzioni agli estremi del dominio. Operazioni razionali sui limiti. Asintoto obliquo: formula e dimostrazione. Forme indeterminate del tipo infinito su infinito, zero per infinito, zero su zero e infinito meno infinito. Forme indeterminate per polinomi e funzioni generali. Gerarchia o catena degli infiniti. Forma zero su zero per polinomi.
Continuità in un punto e in un insieme. Continuità delle funzioni elementari, con particolare riferimento al logaritmo e relativa dimostrazione. Operazioni razionali sulle funzioni continue, con dimostrazione. Continuità della funzione composta, con dimostrazione. Punti di discontinuità di prima specie, seconda specie e terza specie. Continuità di funzioni definite a più leggi. Continuità e invertibilità.
Limiti notevoli, con dimostrazione. Infinitesimi: definizione, infinitesimo campione, ordine di infinitesimo e confronto tra infinitesimi. Teorema di cancellazione degli infinitesimi di ordine superiore, con dimostrazione, e applicazione alle forme indeterminate zero su zero. Infiniti: definizione, infinito campione, ordine di infinito, confronto tra infiniti e gerarchia degli infiniti.
Teorema degli zeri di una funzione continua, con dimostrazione. Massimi e minimi assoluti. Insieme compatto. Teorema di Weierstrass e necessità delle relative ipotesi. Studio di funzione: dominio, intersezione con gli assi, segno e limiti.
Derivate
Retta secante e retta tangente a una funzione o a una curva. Rapporto incrementale. Derivata di una funzione in un punto. Equazione della retta tangente al grafico di una funzione in un punto. Derivabilità in un punto e in un intervallo. Funzione derivata. Derivata destra e derivata sinistra.
Derivate delle funzioni elementari: funzione costante, funzione potenza, funzione esponenziale e funzione logaritmo, con relative dimostrazioni. Teorema secondo cui la derivabilità implica la continuità, con dimostrazione. Punti di non derivabilità: punti angolosi, punti a tangente verticale e cuspidi.
Regole di derivazione: moltiplicazione per uno scalare, somma di funzioni, prodotto e quoziente di due funzioni, con relative dimostrazioni. Derivata di una funzione composta, con dimostrazione.
Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat, con dimostrazione. Applicazione congiunta dei teoremi di Weierstrass e Fermat agli insiemi compatti. Teorema di Rolle, con dimostrazione. Teorema di Lagrange, con dimostrazione, e relativo significato geometrico. Teorema di Cauchy, con dimostrazione. Teorema sul test di monotonia, con dimostrazione. Teorema di de l'Hôpital, con dimostrazione.
Derivate di ordine superiore al primo. Funzioni di classe C k. Funzioni convesse e concave. Convessità globale e locale. Polinomi di Taylor e di Maclaurin. Test di convessità, con dimostrazione.
Integrali
Area della regione di piano compresa tra l'asse delle ascisse e il grafico di una funzione. Successioni e partizioni. Somma integrale superiore e inferiore. Funzione integrabile secondo Riemann. Integrale definito di una funzione su un intervallo chiuso e limitato. Relazione tra continuità e integrabilità. Proprietà dell'integrale definito.
Primitiva di una funzione. Insieme delle primitive di una funzione e integrale indefinito. Integrali immediati. Area con segno. Integrazione per parti. Integrazione per sostituzione.
Vettori e matrici
Vettore geometrico, vettore libero e vettore applicato. Lunghezza, verso e direzione di un vettore. Vettori nello spazio reale a n dimensioni. Operazioni tra vettori: somma di vettori e prodotto di un vettore per un numero reale, con relativo significato geometrico. Spazio vettoriale reale. Combinazione lineare di vettori. Vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti.
Matrici. Vettori riga e vettori colonna. Matrice nulla e matrice quadrata. Somma tra matrici e moltiplicazione di una matrice per un numero reale. Matrice trasposta. Matrici simmetriche. Matrice diagonale e matrice identità. Prodotto scalare. Prodotto tra matrici e relative proprietà.
Area del parallelogramma nel piano reale. Determinante di una matrice quadrata di ordine due. Determinanti di matrici quadrate di ordine n e relative proprietà. Relazione tra determinante e dipendenza o indipendenza lineare dei vettori. Determinante di una matrice di ordine tre mediante la regola di Sarrus.
Matrice inversa. Teorema sulla matrice inversa, con dimostrazione. Calcolo della matrice inversa.
Sistemi di equazioni lineari
Formula di Cramer. Sistemi omogenei. Rango di una matrice. Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi parametrici.
- Appunti e altro materiale scaricabile online dal corso di Matematica Generale sulla piattaforma Moodle all’indirizzo: https://economia.el.uniroma3.it/
Facoltativi:
- Loretta Mastroeni, Alessandro Mazzoccoli, Pierluigi Vellucci. Esercizi di matematica generale. Esculapio, 2023
- Loretta Mastroeni, Alessandro Mazzoccoli. Matematica generale. Teoria. Esculapio, 2025
Programma
LogicaSintassi e semantica. Connettivi logici. Condizione sufficiente, condizione necessaria, condizione necessaria e sufficiente. Dimostrazione diretta e costruttiva. Dimostrazione per assurdo.
Teoria degli insiemi
Insieme e appartenenza di un elemento. Concetti primitivi e derivati. Quantificatori. Diagrammi di Eulero-Venn. Sottoinsieme. Insieme vuoto e insieme universo. Unione e intersezione di insiemi. Insiemi disgiunti. Differenza tra insiemi.
Relazioni e funzioni – cenni iniziali
Relazioni e funzioni. Tabulazione di relazioni e funzioni.
Insiemi numerici
Insieme dei numeri naturali, interi relativi, razionali, irrazionali e reali. Teorema dell'irrazionalità della radice quadrata di due, con dimostrazione. Ordinamento e relazione di ordinamento. Assiomi basilari dell'ordinamento. Assioma di completezza e retta reale. Intervalli di numeri reali: intervalli chiusi e aperti. Maggiorante e minorante di un insieme. Estremo inferiore ed estremo superiore. Massimo e minimo di un insieme. Assioma di Dedekind, proprietà e implicazioni sugli intervalli reali. Insiemi illimitati superiormente e inferiormente. Ente matematico infinito.
Sommatorie
Definizione di sommatoria e relative proprietà. Somma degli inversi dei numeri naturali e risultato di Nicola d'Oresme. Somma dei primi n numeri naturali, somma di Gauss con dimostrazione. Somma geometrica con dimostrazione.
Funzioni reali
Definizione di funzione reale. Dominio e insieme immagine. Immagine e controimmagine. Prodotto cartesiano di due insiemi e piano reale. Grafico di una funzione. Funzione inversa. Iniettività, suriettività e invertibilità. Monotonia e stretta monotonia e loro relazione con l'invertibilità. Funzioni pari e dispari. Funzioni elementari e relative proprietà: dominio, insieme immagine, monotonia e invertibilità. Retta. Funzione potenza di grado pari e dispari. Funzione radice ennesima. Funzione esponenziale. Funzione logaritmo. Composizione di funzioni. Funzioni definite a più leggi. Funzione modulo. Operazioni sui grafici. Determinazione del dominio di una funzione. Successioni.
Topologia della retta
Intorno completo, intorno circolare, intorno destro e intorno sinistro. Intorno di infinito. Punto di accumulazione di un insieme. Punti isolati. Complementare di un insieme. Punti interni e punti di frontiera. Insiemi chiusi e insiemi aperti.
Limiti e continuità
Limite finito al finito, limite infinito al finito, limite finito all'infinito e limite infinito all'infinito. Limite destro e limite sinistro. Verifica di un limite. Asintoto verticale e asintoto orizzontale.
Teoremi sui limiti: unicità del limite, con dimostrazione; uguaglianza tra limite destro e limite sinistro, con dimostrazione; teorema di permanenza del segno, con dimostrazione.
Calcolo dei limiti di funzioni agli estremi del dominio. Operazioni razionali sui limiti. Asintoto obliquo: formula e dimostrazione. Forme indeterminate del tipo infinito su infinito, zero per infinito, zero su zero e infinito meno infinito. Forme indeterminate per polinomi e funzioni generali. Gerarchia o catena degli infiniti. Forma zero su zero per polinomi.
Continuità in un punto e in un insieme. Continuità delle funzioni elementari, con particolare riferimento al logaritmo e relativa dimostrazione. Operazioni razionali sulle funzioni continue, con dimostrazione. Continuità della funzione composta, con dimostrazione. Punti di discontinuità di prima specie, seconda specie e terza specie. Continuità di funzioni definite a più leggi. Continuità e invertibilità.
Limiti notevoli, con dimostrazione. Infinitesimi: definizione, infinitesimo campione, ordine di infinitesimo e confronto tra infinitesimi. Teorema di cancellazione degli infinitesimi di ordine superiore, con dimostrazione, e applicazione alle forme indeterminate zero su zero. Infiniti: definizione, infinito campione, ordine di infinito, confronto tra infiniti e gerarchia degli infiniti.
Teorema degli zeri di una funzione continua, con dimostrazione. Massimi e minimi assoluti. Insieme compatto. Teorema di Weierstrass e necessità delle relative ipotesi. Studio di funzione: dominio, intersezione con gli assi, segno e limiti.
Derivate
Retta secante e retta tangente a una funzione o a una curva. Rapporto incrementale. Derivata di una funzione in un punto. Equazione della retta tangente al grafico di una funzione in un punto. Derivabilità in un punto e in un intervallo. Funzione derivata. Derivata destra e derivata sinistra.
Derivate delle funzioni elementari: funzione costante, funzione potenza, funzione esponenziale e funzione logaritmo, con relative dimostrazioni. Teorema secondo cui la derivabilità implica la continuità, con dimostrazione. Punti di non derivabilità: punti angolosi, punti a tangente verticale e cuspidi.
Regole di derivazione: moltiplicazione per uno scalare, somma di funzioni, prodotto e quoziente di due funzioni, con relative dimostrazioni. Derivata di una funzione composta, con dimostrazione.
Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat, con dimostrazione. Applicazione congiunta dei teoremi di Weierstrass e Fermat agli insiemi compatti. Teorema di Rolle, con dimostrazione. Teorema di Lagrange, con dimostrazione, e relativo significato geometrico. Teorema di Cauchy, con dimostrazione. Teorema sul test di monotonia, con dimostrazione. Teorema di de l'Hôpital, con dimostrazione.
Derivate di ordine superiore al primo. Funzioni di classe C k. Funzioni convesse e concave. Convessità globale e locale. Polinomi di Taylor e di Maclaurin. Test di convessità, con dimostrazione.
Integrali
Area della regione di piano compresa tra l'asse delle ascisse e il grafico di una funzione. Successioni e partizioni. Somma integrale superiore e inferiore. Funzione integrabile secondo Riemann. Integrale definito di una funzione su un intervallo chiuso e limitato. Relazione tra continuità e integrabilità. Proprietà dell'integrale definito.
Primitiva di una funzione. Insieme delle primitive di una funzione e integrale indefinito. Integrali immediati. Area con segno. Integrazione per parti. Integrazione per sostituzione.
Vettori e matrici
Vettore geometrico, vettore libero e vettore applicato. Lunghezza, verso e direzione di un vettore. Vettori nello spazio reale a n dimensioni. Operazioni tra vettori: somma di vettori e prodotto di un vettore per un numero reale, con relativo significato geometrico. Spazio vettoriale reale. Combinazione lineare di vettori. Vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti.
Matrici. Vettori riga e vettori colonna. Matrice nulla e matrice quadrata. Somma tra matrici e moltiplicazione di una matrice per un numero reale. Matrice trasposta. Matrici simmetriche. Matrice diagonale e matrice identità. Prodotto scalare. Prodotto tra matrici e relative proprietà.
Area del parallelogramma nel piano reale. Determinante di una matrice quadrata di ordine due. Determinanti di matrici quadrate di ordine n e relative proprietà. Relazione tra determinante e dipendenza o indipendenza lineare dei vettori. Determinante di una matrice di ordine tre mediante la regola di Sarrus.
Matrice inversa. Teorema sulla matrice inversa, con dimostrazione. Calcolo della matrice inversa.
Sistemi di equazioni lineari
Formula di Cramer. Sistemi omogenei. Rango di una matrice. Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi parametrici.
Testi Adottati
Consigliati:- Appunti e altro materiale scaricabile online dal corso di Matematica Generale sulla piattaforma Moodle all’indirizzo: https://economia.el.uniroma3.it/
Facoltativi:
- Loretta Mastroeni, Alessandro Mazzoccoli, Pierluigi Vellucci. Esercizi di matematica generale. Esculapio, 2023
- Loretta Mastroeni, Alessandro Mazzoccoli. Matematica generale. Teoria. Esculapio, 2025
Modalità Frequenza
La partecipazione al corso è facoltativa. Gli studenti possono scegliere di frequentare le lezioni e partecipare alle attività in aula, ma non è obbligatorio. Tuttavia, si consiglia vivamente la partecipazione per una migliore comprensione dei concetti trattati.Modalità Valutazione
L’esame sarà costituito da una prova scritta ed una orale entrambe obbligatorie.Canali
scheda docente
materiale didattico
Sintassi e semantica. Connettivi logici. Condizione sufficiente, condizione necessaria, condizione necessaria e sufficiente. Dimostrazione diretta e costruttiva. Dimostrazione per assurdo.
Teoria degli insiemi
Insieme e appartenenza di un elemento. Concetti primitivi e derivati. Quantificatori. Diagrammi di Eulero-Venn. Sottoinsieme. Insieme vuoto e insieme universo. Unione e intersezione di insiemi. Insiemi disgiunti. Differenza tra insiemi.
Relazioni e funzioni – cenni iniziali
Relazioni e funzioni. Tabulazione di relazioni e funzioni.
Insiemi numerici
Insieme dei numeri naturali, interi relativi, razionali, irrazionali e reali. Teorema dell'irrazionalità della radice quadrata di due, con dimostrazione. Ordinamento e relazione di ordinamento. Assiomi basilari dell'ordinamento. Assioma di completezza e retta reale. Intervalli di numeri reali: intervalli chiusi e aperti. Maggiorante e minorante di un insieme. Estremo inferiore ed estremo superiore. Massimo e minimo di un insieme. Assioma di Dedekind, proprietà e implicazioni sugli intervalli reali. Insiemi illimitati superiormente e inferiormente. Ente matematico infinito.
Sommatorie
Definizione di sommatoria e relative proprietà. Somma degli inversi dei numeri naturali e risultato di Nicola d'Oresme. Somma dei primi n numeri naturali, somma di Gauss con dimostrazione. Somma geometrica con dimostrazione.
Funzioni reali
Definizione di funzione reale. Dominio e insieme immagine. Immagine e controimmagine. Prodotto cartesiano di due insiemi e piano reale. Grafico di una funzione. Funzione inversa. Iniettività, suriettività e invertibilità. Monotonia e stretta monotonia e loro relazione con l'invertibilità. Funzioni pari e dispari. Funzioni elementari e relative proprietà: dominio, insieme immagine, monotonia e invertibilità. Retta. Funzione potenza di grado pari e dispari. Funzione radice ennesima. Funzione esponenziale. Funzione logaritmo. Composizione di funzioni. Funzioni definite a più leggi. Funzione modulo. Operazioni sui grafici. Determinazione del dominio di una funzione. Successioni.
Topologia della retta
Intorno completo, intorno circolare, intorno destro e intorno sinistro. Intorno di infinito. Punto di accumulazione di un insieme. Punti isolati. Complementare di un insieme. Punti interni e punti di frontiera. Insiemi chiusi e insiemi aperti.
Limiti e continuità
Limite finito al finito, limite infinito al finito, limite finito all'infinito e limite infinito all'infinito. Limite destro e limite sinistro. Verifica di un limite. Asintoto verticale e asintoto orizzontale.
Teoremi sui limiti: unicità del limite, con dimostrazione; uguaglianza tra limite destro e limite sinistro, con dimostrazione; teorema di permanenza del segno, con dimostrazione.
Calcolo dei limiti di funzioni agli estremi del dominio. Operazioni razionali sui limiti. Asintoto obliquo: formula e dimostrazione. Forme indeterminate del tipo infinito su infinito, zero per infinito, zero su zero e infinito meno infinito. Forme indeterminate per polinomi e funzioni generali. Gerarchia o catena degli infiniti. Forma zero su zero per polinomi.
Continuità in un punto e in un insieme. Continuità delle funzioni elementari, con particolare riferimento al logaritmo e relativa dimostrazione. Operazioni razionali sulle funzioni continue, con dimostrazione. Continuità della funzione composta, con dimostrazione. Punti di discontinuità di prima specie, seconda specie e terza specie. Continuità di funzioni definite a più leggi. Continuità e invertibilità.
Limiti notevoli, con dimostrazione. Infinitesimi: definizione, infinitesimo campione, ordine di infinitesimo e confronto tra infinitesimi. Teorema di cancellazione degli infinitesimi di ordine superiore, con dimostrazione, e applicazione alle forme indeterminate zero su zero. Infiniti: definizione, infinito campione, ordine di infinito, confronto tra infiniti e gerarchia degli infiniti.
Teorema degli zeri di una funzione continua, con dimostrazione. Massimi e minimi assoluti. Insieme compatto. Teorema di Weierstrass e necessità delle relative ipotesi. Studio di funzione: dominio, intersezione con gli assi, segno e limiti.
Derivate
Retta secante e retta tangente a una funzione o a una curva. Rapporto incrementale. Derivata di una funzione in un punto. Equazione della retta tangente al grafico di una funzione in un punto. Derivabilità in un punto e in un intervallo. Funzione derivata. Derivata destra e derivata sinistra.
Derivate delle funzioni elementari: funzione costante, funzione potenza, funzione esponenziale e funzione logaritmo, con relative dimostrazioni. Teorema secondo cui la derivabilità implica la continuità, con dimostrazione. Punti di non derivabilità: punti angolosi, punti a tangente verticale e cuspidi.
Regole di derivazione: moltiplicazione per uno scalare, somma di funzioni, prodotto e quoziente di due funzioni, con relative dimostrazioni. Derivata di una funzione composta, con dimostrazione.
Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat, con dimostrazione. Applicazione congiunta dei teoremi di Weierstrass e Fermat agli insiemi compatti. Teorema di Rolle, con dimostrazione. Teorema di Lagrange, con dimostrazione, e relativo significato geometrico. Teorema di Cauchy, con dimostrazione. Teorema sul test di monotonia, con dimostrazione. Teorema di de l'Hôpital, con dimostrazione.
Derivate di ordine superiore al primo. Funzioni di classe C k. Funzioni convesse e concave. Convessità globale e locale. Polinomi di Taylor e di Maclaurin. Test di convessità, con dimostrazione.
Integrali
Area della regione di piano compresa tra l'asse delle ascisse e il grafico di una funzione. Successioni e partizioni. Somma integrale superiore e inferiore. Funzione integrabile secondo Riemann. Integrale definito di una funzione su un intervallo chiuso e limitato. Relazione tra continuità e integrabilità. Proprietà dell'integrale definito.
Primitiva di una funzione. Insieme delle primitive di una funzione e integrale indefinito. Integrali immediati. Area con segno. Integrazione per parti. Integrazione per sostituzione.
Vettori e matrici
Vettore geometrico, vettore libero e vettore applicato. Lunghezza, verso e direzione di un vettore. Vettori nello spazio reale a n dimensioni. Operazioni tra vettori: somma di vettori e prodotto di un vettore per un numero reale, con relativo significato geometrico. Spazio vettoriale reale. Combinazione lineare di vettori. Vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti.
Matrici. Vettori riga e vettori colonna. Matrice nulla e matrice quadrata. Somma tra matrici e moltiplicazione di una matrice per un numero reale. Matrice trasposta. Matrici simmetriche. Matrice diagonale e matrice identità. Prodotto scalare. Prodotto tra matrici e relative proprietà.
Area del parallelogramma nel piano reale. Determinante di una matrice quadrata di ordine due. Determinanti di matrici quadrate di ordine n e relative proprietà. Relazione tra determinante e dipendenza o indipendenza lineare dei vettori. Determinante di una matrice di ordine tre mediante la regola di Sarrus.
Matrice inversa. Teorema sulla matrice inversa, con dimostrazione. Calcolo della matrice inversa.
Sistemi di equazioni lineari
Formula di Cramer. Sistemi omogenei. Rango di una matrice. Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi parametrici.
- Appunti e altro materiale scaricabile online dal corso di Matematica Generale sulla piattaforma Moodle all’indirizzo: https://economia.el.uniroma3.it/
Facoltativi:
- Loretta Mastroeni, Alessandro Mazzoccoli, Pierluigi Vellucci. Esercizi di matematica generale. Esculapio, 2023
- Loretta Mastroeni, Alessandro Mazzoccoli. Matematica generale. Teoria. Esculapio, 2025
Programma
LogicaSintassi e semantica. Connettivi logici. Condizione sufficiente, condizione necessaria, condizione necessaria e sufficiente. Dimostrazione diretta e costruttiva. Dimostrazione per assurdo.
Teoria degli insiemi
Insieme e appartenenza di un elemento. Concetti primitivi e derivati. Quantificatori. Diagrammi di Eulero-Venn. Sottoinsieme. Insieme vuoto e insieme universo. Unione e intersezione di insiemi. Insiemi disgiunti. Differenza tra insiemi.
Relazioni e funzioni – cenni iniziali
Relazioni e funzioni. Tabulazione di relazioni e funzioni.
Insiemi numerici
Insieme dei numeri naturali, interi relativi, razionali, irrazionali e reali. Teorema dell'irrazionalità della radice quadrata di due, con dimostrazione. Ordinamento e relazione di ordinamento. Assiomi basilari dell'ordinamento. Assioma di completezza e retta reale. Intervalli di numeri reali: intervalli chiusi e aperti. Maggiorante e minorante di un insieme. Estremo inferiore ed estremo superiore. Massimo e minimo di un insieme. Assioma di Dedekind, proprietà e implicazioni sugli intervalli reali. Insiemi illimitati superiormente e inferiormente. Ente matematico infinito.
Sommatorie
Definizione di sommatoria e relative proprietà. Somma degli inversi dei numeri naturali e risultato di Nicola d'Oresme. Somma dei primi n numeri naturali, somma di Gauss con dimostrazione. Somma geometrica con dimostrazione.
Funzioni reali
Definizione di funzione reale. Dominio e insieme immagine. Immagine e controimmagine. Prodotto cartesiano di due insiemi e piano reale. Grafico di una funzione. Funzione inversa. Iniettività, suriettività e invertibilità. Monotonia e stretta monotonia e loro relazione con l'invertibilità. Funzioni pari e dispari. Funzioni elementari e relative proprietà: dominio, insieme immagine, monotonia e invertibilità. Retta. Funzione potenza di grado pari e dispari. Funzione radice ennesima. Funzione esponenziale. Funzione logaritmo. Composizione di funzioni. Funzioni definite a più leggi. Funzione modulo. Operazioni sui grafici. Determinazione del dominio di una funzione. Successioni.
Topologia della retta
Intorno completo, intorno circolare, intorno destro e intorno sinistro. Intorno di infinito. Punto di accumulazione di un insieme. Punti isolati. Complementare di un insieme. Punti interni e punti di frontiera. Insiemi chiusi e insiemi aperti.
Limiti e continuità
Limite finito al finito, limite infinito al finito, limite finito all'infinito e limite infinito all'infinito. Limite destro e limite sinistro. Verifica di un limite. Asintoto verticale e asintoto orizzontale.
Teoremi sui limiti: unicità del limite, con dimostrazione; uguaglianza tra limite destro e limite sinistro, con dimostrazione; teorema di permanenza del segno, con dimostrazione.
Calcolo dei limiti di funzioni agli estremi del dominio. Operazioni razionali sui limiti. Asintoto obliquo: formula e dimostrazione. Forme indeterminate del tipo infinito su infinito, zero per infinito, zero su zero e infinito meno infinito. Forme indeterminate per polinomi e funzioni generali. Gerarchia o catena degli infiniti. Forma zero su zero per polinomi.
Continuità in un punto e in un insieme. Continuità delle funzioni elementari, con particolare riferimento al logaritmo e relativa dimostrazione. Operazioni razionali sulle funzioni continue, con dimostrazione. Continuità della funzione composta, con dimostrazione. Punti di discontinuità di prima specie, seconda specie e terza specie. Continuità di funzioni definite a più leggi. Continuità e invertibilità.
Limiti notevoli, con dimostrazione. Infinitesimi: definizione, infinitesimo campione, ordine di infinitesimo e confronto tra infinitesimi. Teorema di cancellazione degli infinitesimi di ordine superiore, con dimostrazione, e applicazione alle forme indeterminate zero su zero. Infiniti: definizione, infinito campione, ordine di infinito, confronto tra infiniti e gerarchia degli infiniti.
Teorema degli zeri di una funzione continua, con dimostrazione. Massimi e minimi assoluti. Insieme compatto. Teorema di Weierstrass e necessità delle relative ipotesi. Studio di funzione: dominio, intersezione con gli assi, segno e limiti.
Derivate
Retta secante e retta tangente a una funzione o a una curva. Rapporto incrementale. Derivata di una funzione in un punto. Equazione della retta tangente al grafico di una funzione in un punto. Derivabilità in un punto e in un intervallo. Funzione derivata. Derivata destra e derivata sinistra.
Derivate delle funzioni elementari: funzione costante, funzione potenza, funzione esponenziale e funzione logaritmo, con relative dimostrazioni. Teorema secondo cui la derivabilità implica la continuità, con dimostrazione. Punti di non derivabilità: punti angolosi, punti a tangente verticale e cuspidi.
Regole di derivazione: moltiplicazione per uno scalare, somma di funzioni, prodotto e quoziente di due funzioni, con relative dimostrazioni. Derivata di una funzione composta, con dimostrazione.
Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat, con dimostrazione. Applicazione congiunta dei teoremi di Weierstrass e Fermat agli insiemi compatti. Teorema di Rolle, con dimostrazione. Teorema di Lagrange, con dimostrazione, e relativo significato geometrico. Teorema di Cauchy, con dimostrazione. Teorema sul test di monotonia, con dimostrazione. Teorema di de l'Hôpital, con dimostrazione.
Derivate di ordine superiore al primo. Funzioni di classe C k. Funzioni convesse e concave. Convessità globale e locale. Polinomi di Taylor e di Maclaurin. Test di convessità, con dimostrazione.
Integrali
Area della regione di piano compresa tra l'asse delle ascisse e il grafico di una funzione. Successioni e partizioni. Somma integrale superiore e inferiore. Funzione integrabile secondo Riemann. Integrale definito di una funzione su un intervallo chiuso e limitato. Relazione tra continuità e integrabilità. Proprietà dell'integrale definito.
Primitiva di una funzione. Insieme delle primitive di una funzione e integrale indefinito. Integrali immediati. Area con segno. Integrazione per parti. Integrazione per sostituzione.
Vettori e matrici
Vettore geometrico, vettore libero e vettore applicato. Lunghezza, verso e direzione di un vettore. Vettori nello spazio reale a n dimensioni. Operazioni tra vettori: somma di vettori e prodotto di un vettore per un numero reale, con relativo significato geometrico. Spazio vettoriale reale. Combinazione lineare di vettori. Vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti.
Matrici. Vettori riga e vettori colonna. Matrice nulla e matrice quadrata. Somma tra matrici e moltiplicazione di una matrice per un numero reale. Matrice trasposta. Matrici simmetriche. Matrice diagonale e matrice identità. Prodotto scalare. Prodotto tra matrici e relative proprietà.
Area del parallelogramma nel piano reale. Determinante di una matrice quadrata di ordine due. Determinanti di matrici quadrate di ordine n e relative proprietà. Relazione tra determinante e dipendenza o indipendenza lineare dei vettori. Determinante di una matrice di ordine tre mediante la regola di Sarrus.
Matrice inversa. Teorema sulla matrice inversa, con dimostrazione. Calcolo della matrice inversa.
Sistemi di equazioni lineari
Formula di Cramer. Sistemi omogenei. Rango di una matrice. Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi parametrici.
Testi Adottati
Consigliati:- Appunti e altro materiale scaricabile online dal corso di Matematica Generale sulla piattaforma Moodle all’indirizzo: https://economia.el.uniroma3.it/
Facoltativi:
- Loretta Mastroeni, Alessandro Mazzoccoli, Pierluigi Vellucci. Esercizi di matematica generale. Esculapio, 2023
- Loretta Mastroeni, Alessandro Mazzoccoli. Matematica generale. Teoria. Esculapio, 2025
Modalità Frequenza
La partecipazione al corso è facoltativa. Gli studenti possono scegliere di frequentare le lezioni e partecipare alle attività in aula, ma non è obbligatorio. Tuttavia, si consiglia vivamente la partecipazione per una migliore comprensione dei concetti trattati.Modalità Valutazione
L’esame sarà costituito da una prova scritta ed una orale entrambe obbligatorie.Canali
scheda docente
materiale didattico
Sintassi e semantica. Connettivi logici. Condizione sufficiente, condizione necessaria, condizione necessaria e sufficiente. Dimostrazione diretta e costruttiva. Dimostrazione per assurdo.
Teoria degli insiemi
Insieme e appartenenza di un elemento. Concetti primitivi e derivati. Quantificatori. Diagrammi di Eulero-Venn. Sottoinsieme. Insieme vuoto e insieme universo. Unione e intersezione di insiemi. Insiemi disgiunti. Differenza tra insiemi.
Relazioni e funzioni – cenni iniziali
Relazioni e funzioni. Tabulazione di relazioni e funzioni.
Insiemi numerici
Insieme dei numeri naturali, interi relativi, razionali, irrazionali e reali. Teorema dell'irrazionalità della radice quadrata di due, con dimostrazione. Ordinamento e relazione di ordinamento. Assiomi basilari dell'ordinamento. Assioma di completezza e retta reale. Intervalli di numeri reali: intervalli chiusi e aperti. Maggiorante e minorante di un insieme. Estremo inferiore ed estremo superiore. Massimo e minimo di un insieme. Assioma di Dedekind, proprietà e implicazioni sugli intervalli reali. Insiemi illimitati superiormente e inferiormente. Ente matematico infinito.
Sommatorie
Definizione di sommatoria e relative proprietà. Somma degli inversi dei numeri naturali e risultato di Nicola d'Oresme. Somma dei primi n numeri naturali, somma di Gauss con dimostrazione. Somma geometrica con dimostrazione.
Funzioni reali
Definizione di funzione reale. Dominio e insieme immagine. Immagine e controimmagine. Prodotto cartesiano di due insiemi e piano reale. Grafico di una funzione. Funzione inversa. Iniettività, suriettività e invertibilità. Monotonia e stretta monotonia e loro relazione con l'invertibilità. Funzioni pari e dispari. Funzioni elementari e relative proprietà: dominio, insieme immagine, monotonia e invertibilità. Retta. Funzione potenza di grado pari e dispari. Funzione radice ennesima. Funzione esponenziale. Funzione logaritmo. Composizione di funzioni. Funzioni definite a più leggi. Funzione modulo. Operazioni sui grafici. Determinazione del dominio di una funzione. Successioni.
Topologia della retta
Intorno completo, intorno circolare, intorno destro e intorno sinistro. Intorno di infinito. Punto di accumulazione di un insieme. Punti isolati. Complementare di un insieme. Punti interni e punti di frontiera. Insiemi chiusi e insiemi aperti.
Limiti e continuità
Limite finito al finito, limite infinito al finito, limite finito all'infinito e limite infinito all'infinito. Limite destro e limite sinistro. Verifica di un limite. Asintoto verticale e asintoto orizzontale.
Teoremi sui limiti: unicità del limite, con dimostrazione; uguaglianza tra limite destro e limite sinistro, con dimostrazione; teorema di permanenza del segno, con dimostrazione.
Calcolo dei limiti di funzioni agli estremi del dominio. Operazioni razionali sui limiti. Asintoto obliquo: formula e dimostrazione. Forme indeterminate del tipo infinito su infinito, zero per infinito, zero su zero e infinito meno infinito. Forme indeterminate per polinomi e funzioni generali. Gerarchia o catena degli infiniti. Forma zero su zero per polinomi.
Continuità in un punto e in un insieme. Continuità delle funzioni elementari, con particolare riferimento al logaritmo e relativa dimostrazione. Operazioni razionali sulle funzioni continue, con dimostrazione. Continuità della funzione composta, con dimostrazione. Punti di discontinuità di prima specie, seconda specie e terza specie. Continuità di funzioni definite a più leggi. Continuità e invertibilità.
Limiti notevoli, con dimostrazione. Infinitesimi: definizione, infinitesimo campione, ordine di infinitesimo e confronto tra infinitesimi. Teorema di cancellazione degli infinitesimi di ordine superiore, con dimostrazione, e applicazione alle forme indeterminate zero su zero. Infiniti: definizione, infinito campione, ordine di infinito, confronto tra infiniti e gerarchia degli infiniti.
Teorema degli zeri di una funzione continua, con dimostrazione. Massimi e minimi assoluti. Insieme compatto. Teorema di Weierstrass e necessità delle relative ipotesi. Studio di funzione: dominio, intersezione con gli assi, segno e limiti.
Derivate
Retta secante e retta tangente a una funzione o a una curva. Rapporto incrementale. Derivata di una funzione in un punto. Equazione della retta tangente al grafico di una funzione in un punto. Derivabilità in un punto e in un intervallo. Funzione derivata. Derivata destra e derivata sinistra.
Derivate delle funzioni elementari: funzione costante, funzione potenza, funzione esponenziale e funzione logaritmo, con relative dimostrazioni. Teorema secondo cui la derivabilità implica la continuità, con dimostrazione. Punti di non derivabilità: punti angolosi, punti a tangente verticale e cuspidi.
Regole di derivazione: moltiplicazione per uno scalare, somma di funzioni, prodotto e quoziente di due funzioni, con relative dimostrazioni. Derivata di una funzione composta, con dimostrazione.
Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat, con dimostrazione. Applicazione congiunta dei teoremi di Weierstrass e Fermat agli insiemi compatti. Teorema di Rolle, con dimostrazione. Teorema di Lagrange, con dimostrazione, e relativo significato geometrico. Teorema di Cauchy, con dimostrazione. Teorema sul test di monotonia, con dimostrazione. Teorema di de l'Hôpital, con dimostrazione.
Derivate di ordine superiore al primo. Funzioni di classe C k. Funzioni convesse e concave. Convessità globale e locale. Polinomi di Taylor e di Maclaurin. Test di convessità, con dimostrazione.
Integrali
Area della regione di piano compresa tra l'asse delle ascisse e il grafico di una funzione. Successioni e partizioni. Somma integrale superiore e inferiore. Funzione integrabile secondo Riemann. Integrale definito di una funzione su un intervallo chiuso e limitato. Relazione tra continuità e integrabilità. Proprietà dell'integrale definito.
Primitiva di una funzione. Insieme delle primitive di una funzione e integrale indefinito. Integrali immediati. Area con segno. Integrazione per parti. Integrazione per sostituzione.
Vettori e matrici
Vettore geometrico, vettore libero e vettore applicato. Lunghezza, verso e direzione di un vettore. Vettori nello spazio reale a n dimensioni. Operazioni tra vettori: somma di vettori e prodotto di un vettore per un numero reale, con relativo significato geometrico. Spazio vettoriale reale. Combinazione lineare di vettori. Vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti.
Matrici. Vettori riga e vettori colonna. Matrice nulla e matrice quadrata. Somma tra matrici e moltiplicazione di una matrice per un numero reale. Matrice trasposta. Matrici simmetriche. Matrice diagonale e matrice identità. Prodotto scalare. Prodotto tra matrici e relative proprietà.
Area del parallelogramma nel piano reale. Determinante di una matrice quadrata di ordine due. Determinanti di matrici quadrate di ordine n e relative proprietà. Relazione tra determinante e dipendenza o indipendenza lineare dei vettori. Determinante di una matrice di ordine tre mediante la regola di Sarrus.
Matrice inversa. Teorema sulla matrice inversa, con dimostrazione. Calcolo della matrice inversa.
Sistemi di equazioni lineari
Formula di Cramer. Sistemi omogenei. Rango di una matrice. Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi parametrici.
- Appunti e altro materiale scaricabile online dal corso di Matematica Generale sulla piattaforma Moodle all’indirizzo: https://economia.el.uniroma3.it/
Facoltativi:
- Loretta Mastroeni, Alessandro Mazzoccoli, Pierluigi Vellucci. Esercizi di matematica generale. Esculapio, 2023
- Loretta Mastroeni, Alessandro Mazzoccoli. Matematica generale. Teoria. Esculapio, 2025
Programma
LogicaSintassi e semantica. Connettivi logici. Condizione sufficiente, condizione necessaria, condizione necessaria e sufficiente. Dimostrazione diretta e costruttiva. Dimostrazione per assurdo.
Teoria degli insiemi
Insieme e appartenenza di un elemento. Concetti primitivi e derivati. Quantificatori. Diagrammi di Eulero-Venn. Sottoinsieme. Insieme vuoto e insieme universo. Unione e intersezione di insiemi. Insiemi disgiunti. Differenza tra insiemi.
Relazioni e funzioni – cenni iniziali
Relazioni e funzioni. Tabulazione di relazioni e funzioni.
Insiemi numerici
Insieme dei numeri naturali, interi relativi, razionali, irrazionali e reali. Teorema dell'irrazionalità della radice quadrata di due, con dimostrazione. Ordinamento e relazione di ordinamento. Assiomi basilari dell'ordinamento. Assioma di completezza e retta reale. Intervalli di numeri reali: intervalli chiusi e aperti. Maggiorante e minorante di un insieme. Estremo inferiore ed estremo superiore. Massimo e minimo di un insieme. Assioma di Dedekind, proprietà e implicazioni sugli intervalli reali. Insiemi illimitati superiormente e inferiormente. Ente matematico infinito.
Sommatorie
Definizione di sommatoria e relative proprietà. Somma degli inversi dei numeri naturali e risultato di Nicola d'Oresme. Somma dei primi n numeri naturali, somma di Gauss con dimostrazione. Somma geometrica con dimostrazione.
Funzioni reali
Definizione di funzione reale. Dominio e insieme immagine. Immagine e controimmagine. Prodotto cartesiano di due insiemi e piano reale. Grafico di una funzione. Funzione inversa. Iniettività, suriettività e invertibilità. Monotonia e stretta monotonia e loro relazione con l'invertibilità. Funzioni pari e dispari. Funzioni elementari e relative proprietà: dominio, insieme immagine, monotonia e invertibilità. Retta. Funzione potenza di grado pari e dispari. Funzione radice ennesima. Funzione esponenziale. Funzione logaritmo. Composizione di funzioni. Funzioni definite a più leggi. Funzione modulo. Operazioni sui grafici. Determinazione del dominio di una funzione. Successioni.
Topologia della retta
Intorno completo, intorno circolare, intorno destro e intorno sinistro. Intorno di infinito. Punto di accumulazione di un insieme. Punti isolati. Complementare di un insieme. Punti interni e punti di frontiera. Insiemi chiusi e insiemi aperti.
Limiti e continuità
Limite finito al finito, limite infinito al finito, limite finito all'infinito e limite infinito all'infinito. Limite destro e limite sinistro. Verifica di un limite. Asintoto verticale e asintoto orizzontale.
Teoremi sui limiti: unicità del limite, con dimostrazione; uguaglianza tra limite destro e limite sinistro, con dimostrazione; teorema di permanenza del segno, con dimostrazione.
Calcolo dei limiti di funzioni agli estremi del dominio. Operazioni razionali sui limiti. Asintoto obliquo: formula e dimostrazione. Forme indeterminate del tipo infinito su infinito, zero per infinito, zero su zero e infinito meno infinito. Forme indeterminate per polinomi e funzioni generali. Gerarchia o catena degli infiniti. Forma zero su zero per polinomi.
Continuità in un punto e in un insieme. Continuità delle funzioni elementari, con particolare riferimento al logaritmo e relativa dimostrazione. Operazioni razionali sulle funzioni continue, con dimostrazione. Continuità della funzione composta, con dimostrazione. Punti di discontinuità di prima specie, seconda specie e terza specie. Continuità di funzioni definite a più leggi. Continuità e invertibilità.
Limiti notevoli, con dimostrazione. Infinitesimi: definizione, infinitesimo campione, ordine di infinitesimo e confronto tra infinitesimi. Teorema di cancellazione degli infinitesimi di ordine superiore, con dimostrazione, e applicazione alle forme indeterminate zero su zero. Infiniti: definizione, infinito campione, ordine di infinito, confronto tra infiniti e gerarchia degli infiniti.
Teorema degli zeri di una funzione continua, con dimostrazione. Massimi e minimi assoluti. Insieme compatto. Teorema di Weierstrass e necessità delle relative ipotesi. Studio di funzione: dominio, intersezione con gli assi, segno e limiti.
Derivate
Retta secante e retta tangente a una funzione o a una curva. Rapporto incrementale. Derivata di una funzione in un punto. Equazione della retta tangente al grafico di una funzione in un punto. Derivabilità in un punto e in un intervallo. Funzione derivata. Derivata destra e derivata sinistra.
Derivate delle funzioni elementari: funzione costante, funzione potenza, funzione esponenziale e funzione logaritmo, con relative dimostrazioni. Teorema secondo cui la derivabilità implica la continuità, con dimostrazione. Punti di non derivabilità: punti angolosi, punti a tangente verticale e cuspidi.
Regole di derivazione: moltiplicazione per uno scalare, somma di funzioni, prodotto e quoziente di due funzioni, con relative dimostrazioni. Derivata di una funzione composta, con dimostrazione.
Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat, con dimostrazione. Applicazione congiunta dei teoremi di Weierstrass e Fermat agli insiemi compatti. Teorema di Rolle, con dimostrazione. Teorema di Lagrange, con dimostrazione, e relativo significato geometrico. Teorema di Cauchy, con dimostrazione. Teorema sul test di monotonia, con dimostrazione. Teorema di de l'Hôpital, con dimostrazione.
Derivate di ordine superiore al primo. Funzioni di classe C k. Funzioni convesse e concave. Convessità globale e locale. Polinomi di Taylor e di Maclaurin. Test di convessità, con dimostrazione.
Integrali
Area della regione di piano compresa tra l'asse delle ascisse e il grafico di una funzione. Successioni e partizioni. Somma integrale superiore e inferiore. Funzione integrabile secondo Riemann. Integrale definito di una funzione su un intervallo chiuso e limitato. Relazione tra continuità e integrabilità. Proprietà dell'integrale definito.
Primitiva di una funzione. Insieme delle primitive di una funzione e integrale indefinito. Integrali immediati. Area con segno. Integrazione per parti. Integrazione per sostituzione.
Vettori e matrici
Vettore geometrico, vettore libero e vettore applicato. Lunghezza, verso e direzione di un vettore. Vettori nello spazio reale a n dimensioni. Operazioni tra vettori: somma di vettori e prodotto di un vettore per un numero reale, con relativo significato geometrico. Spazio vettoriale reale. Combinazione lineare di vettori. Vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti.
Matrici. Vettori riga e vettori colonna. Matrice nulla e matrice quadrata. Somma tra matrici e moltiplicazione di una matrice per un numero reale. Matrice trasposta. Matrici simmetriche. Matrice diagonale e matrice identità. Prodotto scalare. Prodotto tra matrici e relative proprietà.
Area del parallelogramma nel piano reale. Determinante di una matrice quadrata di ordine due. Determinanti di matrici quadrate di ordine n e relative proprietà. Relazione tra determinante e dipendenza o indipendenza lineare dei vettori. Determinante di una matrice di ordine tre mediante la regola di Sarrus.
Matrice inversa. Teorema sulla matrice inversa, con dimostrazione. Calcolo della matrice inversa.
Sistemi di equazioni lineari
Formula di Cramer. Sistemi omogenei. Rango di una matrice. Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi parametrici.
Testi Adottati
Consigliati:- Appunti e altro materiale scaricabile online dal corso di Matematica Generale sulla piattaforma Moodle all’indirizzo: https://economia.el.uniroma3.it/
Facoltativi:
- Loretta Mastroeni, Alessandro Mazzoccoli, Pierluigi Vellucci. Esercizi di matematica generale. Esculapio, 2023
- Loretta Mastroeni, Alessandro Mazzoccoli. Matematica generale. Teoria. Esculapio, 2025
Modalità Frequenza
La partecipazione al corso è facoltativa. Gli studenti possono scegliere di frequentare le lezioni e partecipare alle attività in aula, ma non è obbligatorio. Tuttavia, si consiglia vivamente la partecipazione per una migliore comprensione dei concetti trattati.Modalità Valutazione
L’esame sarà costituito da una prova scritta ed una orale entrambe obbligatorie.Canali
scheda docente
materiale didattico
Sintassi e semantica. Connettivi logici. Condizione sufficiente, condizione necessaria, condizione necessaria e sufficiente. Dimostrazione diretta e costruttiva. Dimostrazione per assurdo.
Teoria degli insiemi
Insieme e appartenenza di un elemento. Concetti primitivi e derivati. Quantificatori. Diagrammi di Eulero-Venn. Sottoinsieme. Insieme vuoto e insieme universo. Unione e intersezione di insiemi. Insiemi disgiunti. Differenza tra insiemi.
Relazioni e funzioni – cenni iniziali
Relazioni e funzioni. Tabulazione di relazioni e funzioni.
Insiemi numerici
Insieme dei numeri naturali, interi relativi, razionali, irrazionali e reali. Teorema dell'irrazionalità della radice quadrata di due, con dimostrazione. Ordinamento e relazione di ordinamento. Assiomi basilari dell'ordinamento. Assioma di completezza e retta reale. Intervalli di numeri reali: intervalli chiusi e aperti. Maggiorante e minorante di un insieme. Estremo inferiore ed estremo superiore. Massimo e minimo di un insieme. Assioma di Dedekind, proprietà e implicazioni sugli intervalli reali. Insiemi illimitati superiormente e inferiormente. Ente matematico infinito.
Sommatorie
Definizione di sommatoria e relative proprietà. Somma degli inversi dei numeri naturali e risultato di Nicola d'Oresme. Somma dei primi n numeri naturali, somma di Gauss con dimostrazione. Somma geometrica con dimostrazione.
Funzioni reali
Definizione di funzione reale. Dominio e insieme immagine. Immagine e controimmagine. Prodotto cartesiano di due insiemi e piano reale. Grafico di una funzione. Funzione inversa. Iniettività, suriettività e invertibilità. Monotonia e stretta monotonia e loro relazione con l'invertibilità. Funzioni pari e dispari. Funzioni elementari e relative proprietà: dominio, insieme immagine, monotonia e invertibilità. Retta. Funzione potenza di grado pari e dispari. Funzione radice ennesima. Funzione esponenziale. Funzione logaritmo. Composizione di funzioni. Funzioni definite a più leggi. Funzione modulo. Operazioni sui grafici. Determinazione del dominio di una funzione. Successioni.
Topologia della retta
Intorno completo, intorno circolare, intorno destro e intorno sinistro. Intorno di infinito. Punto di accumulazione di un insieme. Punti isolati. Complementare di un insieme. Punti interni e punti di frontiera. Insiemi chiusi e insiemi aperti.
Limiti e continuità
Limite finito al finito, limite infinito al finito, limite finito all'infinito e limite infinito all'infinito. Limite destro e limite sinistro. Verifica di un limite. Asintoto verticale e asintoto orizzontale.
Teoremi sui limiti: unicità del limite, con dimostrazione; uguaglianza tra limite destro e limite sinistro, con dimostrazione; teorema di permanenza del segno, con dimostrazione.
Calcolo dei limiti di funzioni agli estremi del dominio. Operazioni razionali sui limiti. Asintoto obliquo: formula e dimostrazione. Forme indeterminate del tipo infinito su infinito, zero per infinito, zero su zero e infinito meno infinito. Forme indeterminate per polinomi e funzioni generali. Gerarchia o catena degli infiniti. Forma zero su zero per polinomi.
Continuità in un punto e in un insieme. Continuità delle funzioni elementari, con particolare riferimento al logaritmo e relativa dimostrazione. Operazioni razionali sulle funzioni continue, con dimostrazione. Continuità della funzione composta, con dimostrazione. Punti di discontinuità di prima specie, seconda specie e terza specie. Continuità di funzioni definite a più leggi. Continuità e invertibilità.
Limiti notevoli, con dimostrazione. Infinitesimi: definizione, infinitesimo campione, ordine di infinitesimo e confronto tra infinitesimi. Teorema di cancellazione degli infinitesimi di ordine superiore, con dimostrazione, e applicazione alle forme indeterminate zero su zero. Infiniti: definizione, infinito campione, ordine di infinito, confronto tra infiniti e gerarchia degli infiniti.
Teorema degli zeri di una funzione continua, con dimostrazione. Massimi e minimi assoluti. Insieme compatto. Teorema di Weierstrass e necessità delle relative ipotesi. Studio di funzione: dominio, intersezione con gli assi, segno e limiti.
Derivate
Retta secante e retta tangente a una funzione o a una curva. Rapporto incrementale. Derivata di una funzione in un punto. Equazione della retta tangente al grafico di una funzione in un punto. Derivabilità in un punto e in un intervallo. Funzione derivata. Derivata destra e derivata sinistra.
Derivate delle funzioni elementari: funzione costante, funzione potenza, funzione esponenziale e funzione logaritmo, con relative dimostrazioni. Teorema secondo cui la derivabilità implica la continuità, con dimostrazione. Punti di non derivabilità: punti angolosi, punti a tangente verticale e cuspidi.
Regole di derivazione: moltiplicazione per uno scalare, somma di funzioni, prodotto e quoziente di due funzioni, con relative dimostrazioni. Derivata di una funzione composta, con dimostrazione.
Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat, con dimostrazione. Applicazione congiunta dei teoremi di Weierstrass e Fermat agli insiemi compatti. Teorema di Rolle, con dimostrazione. Teorema di Lagrange, con dimostrazione, e relativo significato geometrico. Teorema di Cauchy, con dimostrazione. Teorema sul test di monotonia, con dimostrazione. Teorema di de l'Hôpital, con dimostrazione.
Derivate di ordine superiore al primo. Funzioni di classe C k. Funzioni convesse e concave. Convessità globale e locale. Polinomi di Taylor e di Maclaurin. Test di convessità, con dimostrazione.
Integrali
Area della regione di piano compresa tra l'asse delle ascisse e il grafico di una funzione. Successioni e partizioni. Somma integrale superiore e inferiore. Funzione integrabile secondo Riemann. Integrale definito di una funzione su un intervallo chiuso e limitato. Relazione tra continuità e integrabilità. Proprietà dell'integrale definito.
Primitiva di una funzione. Insieme delle primitive di una funzione e integrale indefinito. Integrali immediati. Area con segno. Integrazione per parti. Integrazione per sostituzione.
Vettori e matrici
Vettore geometrico, vettore libero e vettore applicato. Lunghezza, verso e direzione di un vettore. Vettori nello spazio reale a n dimensioni. Operazioni tra vettori: somma di vettori e prodotto di un vettore per un numero reale, con relativo significato geometrico. Spazio vettoriale reale. Combinazione lineare di vettori. Vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti.
Matrici. Vettori riga e vettori colonna. Matrice nulla e matrice quadrata. Somma tra matrici e moltiplicazione di una matrice per un numero reale. Matrice trasposta. Matrici simmetriche. Matrice diagonale e matrice identità. Prodotto scalare. Prodotto tra matrici e relative proprietà.
Area del parallelogramma nel piano reale. Determinante di una matrice quadrata di ordine due. Determinanti di matrici quadrate di ordine n e relative proprietà. Relazione tra determinante e dipendenza o indipendenza lineare dei vettori. Determinante di una matrice di ordine tre mediante la regola di Sarrus.
Matrice inversa. Teorema sulla matrice inversa, con dimostrazione. Calcolo della matrice inversa.
Sistemi di equazioni lineari
Formula di Cramer. Sistemi omogenei. Rango di una matrice. Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi parametrici.
- Appunti e altro materiale scaricabile online dal corso di Matematica Generale sulla piattaforma Moodle all’indirizzo: https://economia.el.uniroma3.it/
Facoltativi:
- Loretta Mastroeni, Alessandro Mazzoccoli, Pierluigi Vellucci. Esercizi di matematica generale. Esculapio, 2023
- Loretta Mastroeni, Alessandro Mazzoccoli. Matematica generale. Teoria. Esculapio, 2025
Programma
LogicaSintassi e semantica. Connettivi logici. Condizione sufficiente, condizione necessaria, condizione necessaria e sufficiente. Dimostrazione diretta e costruttiva. Dimostrazione per assurdo.
Teoria degli insiemi
Insieme e appartenenza di un elemento. Concetti primitivi e derivati. Quantificatori. Diagrammi di Eulero-Venn. Sottoinsieme. Insieme vuoto e insieme universo. Unione e intersezione di insiemi. Insiemi disgiunti. Differenza tra insiemi.
Relazioni e funzioni – cenni iniziali
Relazioni e funzioni. Tabulazione di relazioni e funzioni.
Insiemi numerici
Insieme dei numeri naturali, interi relativi, razionali, irrazionali e reali. Teorema dell'irrazionalità della radice quadrata di due, con dimostrazione. Ordinamento e relazione di ordinamento. Assiomi basilari dell'ordinamento. Assioma di completezza e retta reale. Intervalli di numeri reali: intervalli chiusi e aperti. Maggiorante e minorante di un insieme. Estremo inferiore ed estremo superiore. Massimo e minimo di un insieme. Assioma di Dedekind, proprietà e implicazioni sugli intervalli reali. Insiemi illimitati superiormente e inferiormente. Ente matematico infinito.
Sommatorie
Definizione di sommatoria e relative proprietà. Somma degli inversi dei numeri naturali e risultato di Nicola d'Oresme. Somma dei primi n numeri naturali, somma di Gauss con dimostrazione. Somma geometrica con dimostrazione.
Funzioni reali
Definizione di funzione reale. Dominio e insieme immagine. Immagine e controimmagine. Prodotto cartesiano di due insiemi e piano reale. Grafico di una funzione. Funzione inversa. Iniettività, suriettività e invertibilità. Monotonia e stretta monotonia e loro relazione con l'invertibilità. Funzioni pari e dispari. Funzioni elementari e relative proprietà: dominio, insieme immagine, monotonia e invertibilità. Retta. Funzione potenza di grado pari e dispari. Funzione radice ennesima. Funzione esponenziale. Funzione logaritmo. Composizione di funzioni. Funzioni definite a più leggi. Funzione modulo. Operazioni sui grafici. Determinazione del dominio di una funzione. Successioni.
Topologia della retta
Intorno completo, intorno circolare, intorno destro e intorno sinistro. Intorno di infinito. Punto di accumulazione di un insieme. Punti isolati. Complementare di un insieme. Punti interni e punti di frontiera. Insiemi chiusi e insiemi aperti.
Limiti e continuità
Limite finito al finito, limite infinito al finito, limite finito all'infinito e limite infinito all'infinito. Limite destro e limite sinistro. Verifica di un limite. Asintoto verticale e asintoto orizzontale.
Teoremi sui limiti: unicità del limite, con dimostrazione; uguaglianza tra limite destro e limite sinistro, con dimostrazione; teorema di permanenza del segno, con dimostrazione.
Calcolo dei limiti di funzioni agli estremi del dominio. Operazioni razionali sui limiti. Asintoto obliquo: formula e dimostrazione. Forme indeterminate del tipo infinito su infinito, zero per infinito, zero su zero e infinito meno infinito. Forme indeterminate per polinomi e funzioni generali. Gerarchia o catena degli infiniti. Forma zero su zero per polinomi.
Continuità in un punto e in un insieme. Continuità delle funzioni elementari, con particolare riferimento al logaritmo e relativa dimostrazione. Operazioni razionali sulle funzioni continue, con dimostrazione. Continuità della funzione composta, con dimostrazione. Punti di discontinuità di prima specie, seconda specie e terza specie. Continuità di funzioni definite a più leggi. Continuità e invertibilità.
Limiti notevoli, con dimostrazione. Infinitesimi: definizione, infinitesimo campione, ordine di infinitesimo e confronto tra infinitesimi. Teorema di cancellazione degli infinitesimi di ordine superiore, con dimostrazione, e applicazione alle forme indeterminate zero su zero. Infiniti: definizione, infinito campione, ordine di infinito, confronto tra infiniti e gerarchia degli infiniti.
Teorema degli zeri di una funzione continua, con dimostrazione. Massimi e minimi assoluti. Insieme compatto. Teorema di Weierstrass e necessità delle relative ipotesi. Studio di funzione: dominio, intersezione con gli assi, segno e limiti.
Derivate
Retta secante e retta tangente a una funzione o a una curva. Rapporto incrementale. Derivata di una funzione in un punto. Equazione della retta tangente al grafico di una funzione in un punto. Derivabilità in un punto e in un intervallo. Funzione derivata. Derivata destra e derivata sinistra.
Derivate delle funzioni elementari: funzione costante, funzione potenza, funzione esponenziale e funzione logaritmo, con relative dimostrazioni. Teorema secondo cui la derivabilità implica la continuità, con dimostrazione. Punti di non derivabilità: punti angolosi, punti a tangente verticale e cuspidi.
Regole di derivazione: moltiplicazione per uno scalare, somma di funzioni, prodotto e quoziente di due funzioni, con relative dimostrazioni. Derivata di una funzione composta, con dimostrazione.
Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat, con dimostrazione. Applicazione congiunta dei teoremi di Weierstrass e Fermat agli insiemi compatti. Teorema di Rolle, con dimostrazione. Teorema di Lagrange, con dimostrazione, e relativo significato geometrico. Teorema di Cauchy, con dimostrazione. Teorema sul test di monotonia, con dimostrazione. Teorema di de l'Hôpital, con dimostrazione.
Derivate di ordine superiore al primo. Funzioni di classe C k. Funzioni convesse e concave. Convessità globale e locale. Polinomi di Taylor e di Maclaurin. Test di convessità, con dimostrazione.
Integrali
Area della regione di piano compresa tra l'asse delle ascisse e il grafico di una funzione. Successioni e partizioni. Somma integrale superiore e inferiore. Funzione integrabile secondo Riemann. Integrale definito di una funzione su un intervallo chiuso e limitato. Relazione tra continuità e integrabilità. Proprietà dell'integrale definito.
Primitiva di una funzione. Insieme delle primitive di una funzione e integrale indefinito. Integrali immediati. Area con segno. Integrazione per parti. Integrazione per sostituzione.
Vettori e matrici
Vettore geometrico, vettore libero e vettore applicato. Lunghezza, verso e direzione di un vettore. Vettori nello spazio reale a n dimensioni. Operazioni tra vettori: somma di vettori e prodotto di un vettore per un numero reale, con relativo significato geometrico. Spazio vettoriale reale. Combinazione lineare di vettori. Vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti.
Matrici. Vettori riga e vettori colonna. Matrice nulla e matrice quadrata. Somma tra matrici e moltiplicazione di una matrice per un numero reale. Matrice trasposta. Matrici simmetriche. Matrice diagonale e matrice identità. Prodotto scalare. Prodotto tra matrici e relative proprietà.
Area del parallelogramma nel piano reale. Determinante di una matrice quadrata di ordine due. Determinanti di matrici quadrate di ordine n e relative proprietà. Relazione tra determinante e dipendenza o indipendenza lineare dei vettori. Determinante di una matrice di ordine tre mediante la regola di Sarrus.
Matrice inversa. Teorema sulla matrice inversa, con dimostrazione. Calcolo della matrice inversa.
Sistemi di equazioni lineari
Formula di Cramer. Sistemi omogenei. Rango di una matrice. Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi parametrici.
Testi Adottati
Consigliati:- Appunti e altro materiale scaricabile online dal corso di Matematica Generale sulla piattaforma Moodle all’indirizzo: https://economia.el.uniroma3.it/
Facoltativi:
- Loretta Mastroeni, Alessandro Mazzoccoli, Pierluigi Vellucci. Esercizi di matematica generale. Esculapio, 2023
- Loretta Mastroeni, Alessandro Mazzoccoli. Matematica generale. Teoria. Esculapio, 2025
Modalità Frequenza
La partecipazione al corso è facoltativa. Gli studenti possono scegliere di frequentare le lezioni e partecipare alle attività in aula, ma non è obbligatorio. Tuttavia, si consiglia vivamente la partecipazione per una migliore comprensione dei concetti trattati.Modalità Valutazione
L’esame sarà costituito da una prova scritta ed una orale entrambe obbligatorie.Canali
scheda docente
materiale didattico
Sintassi e semantica. Connettivi logici. Condizione sufficiente, condizione necessaria, condizione necessaria e sufficiente. Dimostrazione diretta e costruttiva. Dimostrazione per assurdo.
Teoria degli insiemi
Insieme e appartenenza di un elemento. Concetti primitivi e derivati. Quantificatori. Diagrammi di Eulero-Venn. Sottoinsieme. Insieme vuoto e insieme universo. Unione e intersezione di insiemi. Insiemi disgiunti. Differenza tra insiemi.
Relazioni e funzioni – cenni iniziali
Relazioni e funzioni. Tabulazione di relazioni e funzioni.
Insiemi numerici
Insieme dei numeri naturali, interi relativi, razionali, irrazionali e reali. Teorema dell'irrazionalità della radice quadrata di due, con dimostrazione. Ordinamento e relazione di ordinamento. Assiomi basilari dell'ordinamento. Assioma di completezza e retta reale. Intervalli di numeri reali: intervalli chiusi e aperti. Maggiorante e minorante di un insieme. Estremo inferiore ed estremo superiore. Massimo e minimo di un insieme. Assioma di Dedekind, proprietà e implicazioni sugli intervalli reali. Insiemi illimitati superiormente e inferiormente. Ente matematico infinito.
Sommatorie
Definizione di sommatoria e relative proprietà. Somma degli inversi dei numeri naturali e risultato di Nicola d'Oresme. Somma dei primi n numeri naturali, somma di Gauss con dimostrazione. Somma geometrica con dimostrazione.
Funzioni reali
Definizione di funzione reale. Dominio e insieme immagine. Immagine e controimmagine. Prodotto cartesiano di due insiemi e piano reale. Grafico di una funzione. Funzione inversa. Iniettività, suriettività e invertibilità. Monotonia e stretta monotonia e loro relazione con l'invertibilità. Funzioni pari e dispari. Funzioni elementari e relative proprietà: dominio, insieme immagine, monotonia e invertibilità. Retta. Funzione potenza di grado pari e dispari. Funzione radice ennesima. Funzione esponenziale. Funzione logaritmo. Composizione di funzioni. Funzioni definite a più leggi. Funzione modulo. Operazioni sui grafici. Determinazione del dominio di una funzione. Successioni.
Topologia della retta
Intorno completo, intorno circolare, intorno destro e intorno sinistro. Intorno di infinito. Punto di accumulazione di un insieme. Punti isolati. Complementare di un insieme. Punti interni e punti di frontiera. Insiemi chiusi e insiemi aperti.
Limiti e continuità
Limite finito al finito, limite infinito al finito, limite finito all'infinito e limite infinito all'infinito. Limite destro e limite sinistro. Verifica di un limite. Asintoto verticale e asintoto orizzontale.
Teoremi sui limiti: unicità del limite, con dimostrazione; uguaglianza tra limite destro e limite sinistro, con dimostrazione; teorema di permanenza del segno, con dimostrazione.
Calcolo dei limiti di funzioni agli estremi del dominio. Operazioni razionali sui limiti. Asintoto obliquo: formula e dimostrazione. Forme indeterminate del tipo infinito su infinito, zero per infinito, zero su zero e infinito meno infinito. Forme indeterminate per polinomi e funzioni generali. Gerarchia o catena degli infiniti. Forma zero su zero per polinomi.
Continuità in un punto e in un insieme. Continuità delle funzioni elementari, con particolare riferimento al logaritmo e relativa dimostrazione. Operazioni razionali sulle funzioni continue, con dimostrazione. Continuità della funzione composta, con dimostrazione. Punti di discontinuità di prima specie, seconda specie e terza specie. Continuità di funzioni definite a più leggi. Continuità e invertibilità.
Limiti notevoli, con dimostrazione. Infinitesimi: definizione, infinitesimo campione, ordine di infinitesimo e confronto tra infinitesimi. Teorema di cancellazione degli infinitesimi di ordine superiore, con dimostrazione, e applicazione alle forme indeterminate zero su zero. Infiniti: definizione, infinito campione, ordine di infinito, confronto tra infiniti e gerarchia degli infiniti.
Teorema degli zeri di una funzione continua, con dimostrazione. Massimi e minimi assoluti. Insieme compatto. Teorema di Weierstrass e necessità delle relative ipotesi. Studio di funzione: dominio, intersezione con gli assi, segno e limiti.
Derivate
Retta secante e retta tangente a una funzione o a una curva. Rapporto incrementale. Derivata di una funzione in un punto. Equazione della retta tangente al grafico di una funzione in un punto. Derivabilità in un punto e in un intervallo. Funzione derivata. Derivata destra e derivata sinistra.
Derivate delle funzioni elementari: funzione costante, funzione potenza, funzione esponenziale e funzione logaritmo, con relative dimostrazioni. Teorema secondo cui la derivabilità implica la continuità, con dimostrazione. Punti di non derivabilità: punti angolosi, punti a tangente verticale e cuspidi.
Regole di derivazione: moltiplicazione per uno scalare, somma di funzioni, prodotto e quoziente di due funzioni, con relative dimostrazioni. Derivata di una funzione composta, con dimostrazione.
Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat, con dimostrazione. Applicazione congiunta dei teoremi di Weierstrass e Fermat agli insiemi compatti. Teorema di Rolle, con dimostrazione. Teorema di Lagrange, con dimostrazione, e relativo significato geometrico. Teorema di Cauchy, con dimostrazione. Teorema sul test di monotonia, con dimostrazione. Teorema di de l'Hôpital, con dimostrazione.
Derivate di ordine superiore al primo. Funzioni di classe C k. Funzioni convesse e concave. Convessità globale e locale. Polinomi di Taylor e di Maclaurin. Test di convessità, con dimostrazione.
Integrali
Area della regione di piano compresa tra l'asse delle ascisse e il grafico di una funzione. Successioni e partizioni. Somma integrale superiore e inferiore. Funzione integrabile secondo Riemann. Integrale definito di una funzione su un intervallo chiuso e limitato. Relazione tra continuità e integrabilità. Proprietà dell'integrale definito.
Primitiva di una funzione. Insieme delle primitive di una funzione e integrale indefinito. Integrali immediati. Area con segno. Integrazione per parti. Integrazione per sostituzione.
Vettori e matrici
Vettore geometrico, vettore libero e vettore applicato. Lunghezza, verso e direzione di un vettore. Vettori nello spazio reale a n dimensioni. Operazioni tra vettori: somma di vettori e prodotto di un vettore per un numero reale, con relativo significato geometrico. Spazio vettoriale reale. Combinazione lineare di vettori. Vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti.
Matrici. Vettori riga e vettori colonna. Matrice nulla e matrice quadrata. Somma tra matrici e moltiplicazione di una matrice per un numero reale. Matrice trasposta. Matrici simmetriche. Matrice diagonale e matrice identità. Prodotto scalare. Prodotto tra matrici e relative proprietà.
Area del parallelogramma nel piano reale. Determinante di una matrice quadrata di ordine due. Determinanti di matrici quadrate di ordine n e relative proprietà. Relazione tra determinante e dipendenza o indipendenza lineare dei vettori. Determinante di una matrice di ordine tre mediante la regola di Sarrus.
Matrice inversa. Teorema sulla matrice inversa, con dimostrazione. Calcolo della matrice inversa.
Sistemi di equazioni lineari
Formula di Cramer. Sistemi omogenei. Rango di una matrice. Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi parametrici.
- Appunti e altro materiale scaricabile online dal corso di Matematica Generale sulla piattaforma Moodle all’indirizzo: https://economia.el.uniroma3.it/
Facoltativi:
- Loretta Mastroeni, Alessandro Mazzoccoli, Pierluigi Vellucci. Esercizi di matematica generale. Esculapio, 2023
- Loretta Mastroeni, Alessandro Mazzoccoli. Matematica generale. Teoria. Esculapio, 2025
Programma
LogicaSintassi e semantica. Connettivi logici. Condizione sufficiente, condizione necessaria, condizione necessaria e sufficiente. Dimostrazione diretta e costruttiva. Dimostrazione per assurdo.
Teoria degli insiemi
Insieme e appartenenza di un elemento. Concetti primitivi e derivati. Quantificatori. Diagrammi di Eulero-Venn. Sottoinsieme. Insieme vuoto e insieme universo. Unione e intersezione di insiemi. Insiemi disgiunti. Differenza tra insiemi.
Relazioni e funzioni – cenni iniziali
Relazioni e funzioni. Tabulazione di relazioni e funzioni.
Insiemi numerici
Insieme dei numeri naturali, interi relativi, razionali, irrazionali e reali. Teorema dell'irrazionalità della radice quadrata di due, con dimostrazione. Ordinamento e relazione di ordinamento. Assiomi basilari dell'ordinamento. Assioma di completezza e retta reale. Intervalli di numeri reali: intervalli chiusi e aperti. Maggiorante e minorante di un insieme. Estremo inferiore ed estremo superiore. Massimo e minimo di un insieme. Assioma di Dedekind, proprietà e implicazioni sugli intervalli reali. Insiemi illimitati superiormente e inferiormente. Ente matematico infinito.
Sommatorie
Definizione di sommatoria e relative proprietà. Somma degli inversi dei numeri naturali e risultato di Nicola d'Oresme. Somma dei primi n numeri naturali, somma di Gauss con dimostrazione. Somma geometrica con dimostrazione.
Funzioni reali
Definizione di funzione reale. Dominio e insieme immagine. Immagine e controimmagine. Prodotto cartesiano di due insiemi e piano reale. Grafico di una funzione. Funzione inversa. Iniettività, suriettività e invertibilità. Monotonia e stretta monotonia e loro relazione con l'invertibilità. Funzioni pari e dispari. Funzioni elementari e relative proprietà: dominio, insieme immagine, monotonia e invertibilità. Retta. Funzione potenza di grado pari e dispari. Funzione radice ennesima. Funzione esponenziale. Funzione logaritmo. Composizione di funzioni. Funzioni definite a più leggi. Funzione modulo. Operazioni sui grafici. Determinazione del dominio di una funzione. Successioni.
Topologia della retta
Intorno completo, intorno circolare, intorno destro e intorno sinistro. Intorno di infinito. Punto di accumulazione di un insieme. Punti isolati. Complementare di un insieme. Punti interni e punti di frontiera. Insiemi chiusi e insiemi aperti.
Limiti e continuità
Limite finito al finito, limite infinito al finito, limite finito all'infinito e limite infinito all'infinito. Limite destro e limite sinistro. Verifica di un limite. Asintoto verticale e asintoto orizzontale.
Teoremi sui limiti: unicità del limite, con dimostrazione; uguaglianza tra limite destro e limite sinistro, con dimostrazione; teorema di permanenza del segno, con dimostrazione.
Calcolo dei limiti di funzioni agli estremi del dominio. Operazioni razionali sui limiti. Asintoto obliquo: formula e dimostrazione. Forme indeterminate del tipo infinito su infinito, zero per infinito, zero su zero e infinito meno infinito. Forme indeterminate per polinomi e funzioni generali. Gerarchia o catena degli infiniti. Forma zero su zero per polinomi.
Continuità in un punto e in un insieme. Continuità delle funzioni elementari, con particolare riferimento al logaritmo e relativa dimostrazione. Operazioni razionali sulle funzioni continue, con dimostrazione. Continuità della funzione composta, con dimostrazione. Punti di discontinuità di prima specie, seconda specie e terza specie. Continuità di funzioni definite a più leggi. Continuità e invertibilità.
Limiti notevoli, con dimostrazione. Infinitesimi: definizione, infinitesimo campione, ordine di infinitesimo e confronto tra infinitesimi. Teorema di cancellazione degli infinitesimi di ordine superiore, con dimostrazione, e applicazione alle forme indeterminate zero su zero. Infiniti: definizione, infinito campione, ordine di infinito, confronto tra infiniti e gerarchia degli infiniti.
Teorema degli zeri di una funzione continua, con dimostrazione. Massimi e minimi assoluti. Insieme compatto. Teorema di Weierstrass e necessità delle relative ipotesi. Studio di funzione: dominio, intersezione con gli assi, segno e limiti.
Derivate
Retta secante e retta tangente a una funzione o a una curva. Rapporto incrementale. Derivata di una funzione in un punto. Equazione della retta tangente al grafico di una funzione in un punto. Derivabilità in un punto e in un intervallo. Funzione derivata. Derivata destra e derivata sinistra.
Derivate delle funzioni elementari: funzione costante, funzione potenza, funzione esponenziale e funzione logaritmo, con relative dimostrazioni. Teorema secondo cui la derivabilità implica la continuità, con dimostrazione. Punti di non derivabilità: punti angolosi, punti a tangente verticale e cuspidi.
Regole di derivazione: moltiplicazione per uno scalare, somma di funzioni, prodotto e quoziente di due funzioni, con relative dimostrazioni. Derivata di una funzione composta, con dimostrazione.
Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat, con dimostrazione. Applicazione congiunta dei teoremi di Weierstrass e Fermat agli insiemi compatti. Teorema di Rolle, con dimostrazione. Teorema di Lagrange, con dimostrazione, e relativo significato geometrico. Teorema di Cauchy, con dimostrazione. Teorema sul test di monotonia, con dimostrazione. Teorema di de l'Hôpital, con dimostrazione.
Derivate di ordine superiore al primo. Funzioni di classe C k. Funzioni convesse e concave. Convessità globale e locale. Polinomi di Taylor e di Maclaurin. Test di convessità, con dimostrazione.
Integrali
Area della regione di piano compresa tra l'asse delle ascisse e il grafico di una funzione. Successioni e partizioni. Somma integrale superiore e inferiore. Funzione integrabile secondo Riemann. Integrale definito di una funzione su un intervallo chiuso e limitato. Relazione tra continuità e integrabilità. Proprietà dell'integrale definito.
Primitiva di una funzione. Insieme delle primitive di una funzione e integrale indefinito. Integrali immediati. Area con segno. Integrazione per parti. Integrazione per sostituzione.
Vettori e matrici
Vettore geometrico, vettore libero e vettore applicato. Lunghezza, verso e direzione di un vettore. Vettori nello spazio reale a n dimensioni. Operazioni tra vettori: somma di vettori e prodotto di un vettore per un numero reale, con relativo significato geometrico. Spazio vettoriale reale. Combinazione lineare di vettori. Vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti.
Matrici. Vettori riga e vettori colonna. Matrice nulla e matrice quadrata. Somma tra matrici e moltiplicazione di una matrice per un numero reale. Matrice trasposta. Matrici simmetriche. Matrice diagonale e matrice identità. Prodotto scalare. Prodotto tra matrici e relative proprietà.
Area del parallelogramma nel piano reale. Determinante di una matrice quadrata di ordine due. Determinanti di matrici quadrate di ordine n e relative proprietà. Relazione tra determinante e dipendenza o indipendenza lineare dei vettori. Determinante di una matrice di ordine tre mediante la regola di Sarrus.
Matrice inversa. Teorema sulla matrice inversa, con dimostrazione. Calcolo della matrice inversa.
Sistemi di equazioni lineari
Formula di Cramer. Sistemi omogenei. Rango di una matrice. Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi parametrici.
Testi Adottati
Consigliati:- Appunti e altro materiale scaricabile online dal corso di Matematica Generale sulla piattaforma Moodle all’indirizzo: https://economia.el.uniroma3.it/
Facoltativi:
- Loretta Mastroeni, Alessandro Mazzoccoli, Pierluigi Vellucci. Esercizi di matematica generale. Esculapio, 2023
- Loretta Mastroeni, Alessandro Mazzoccoli. Matematica generale. Teoria. Esculapio, 2025
Modalità Frequenza
La partecipazione al corso è facoltativa. Gli studenti possono scegliere di frequentare le lezioni e partecipare alle attività in aula, ma non è obbligatorio. Tuttavia, si consiglia vivamente la partecipazione per una migliore comprensione dei concetti trattati.Modalità Valutazione
L’esame sarà costituito da una prova scritta ed una orale entrambe obbligatorie.Canali
scheda docente
materiale didattico
Sintassi e semantica. Connettivi logici. Condizione sufficiente, condizione necessaria, condizione necessaria e sufficiente. Dimostrazione diretta e costruttiva. Dimostrazione per assurdo.
Teoria degli insiemi
Insieme e appartenenza di un elemento. Concetti primitivi e derivati. Quantificatori. Diagrammi di Eulero-Venn. Sottoinsieme. Insieme vuoto e insieme universo. Unione e intersezione di insiemi. Insiemi disgiunti. Differenza tra insiemi.
Relazioni e funzioni – cenni iniziali
Relazioni e funzioni. Tabulazione di relazioni e funzioni.
Insiemi numerici
Insieme dei numeri naturali, interi relativi, razionali, irrazionali e reali. Teorema dell'irrazionalità della radice quadrata di due, con dimostrazione. Ordinamento e relazione di ordinamento. Assiomi basilari dell'ordinamento. Assioma di completezza e retta reale. Intervalli di numeri reali: intervalli chiusi e aperti. Maggiorante e minorante di un insieme. Estremo inferiore ed estremo superiore. Massimo e minimo di un insieme. Assioma di Dedekind, proprietà e implicazioni sugli intervalli reali. Insiemi illimitati superiormente e inferiormente. Ente matematico infinito.
Sommatorie
Definizione di sommatoria e relative proprietà. Somma degli inversi dei numeri naturali e risultato di Nicola d'Oresme. Somma dei primi n numeri naturali, somma di Gauss con dimostrazione. Somma geometrica con dimostrazione.
Funzioni reali
Definizione di funzione reale. Dominio e insieme immagine. Immagine e controimmagine. Prodotto cartesiano di due insiemi e piano reale. Grafico di una funzione. Funzione inversa. Iniettività, suriettività e invertibilità. Monotonia e stretta monotonia e loro relazione con l'invertibilità. Funzioni pari e dispari. Funzioni elementari e relative proprietà: dominio, insieme immagine, monotonia e invertibilità. Retta. Funzione potenza di grado pari e dispari. Funzione radice ennesima. Funzione esponenziale. Funzione logaritmo. Composizione di funzioni. Funzioni definite a più leggi. Funzione modulo. Operazioni sui grafici. Determinazione del dominio di una funzione. Successioni.
Topologia della retta
Intorno completo, intorno circolare, intorno destro e intorno sinistro. Intorno di infinito. Punto di accumulazione di un insieme. Punti isolati. Complementare di un insieme. Punti interni e punti di frontiera. Insiemi chiusi e insiemi aperti.
Limiti e continuità
Limite finito al finito, limite infinito al finito, limite finito all'infinito e limite infinito all'infinito. Limite destro e limite sinistro. Verifica di un limite. Asintoto verticale e asintoto orizzontale.
Teoremi sui limiti: unicità del limite, con dimostrazione; uguaglianza tra limite destro e limite sinistro, con dimostrazione; teorema di permanenza del segno, con dimostrazione.
Calcolo dei limiti di funzioni agli estremi del dominio. Operazioni razionali sui limiti. Asintoto obliquo: formula e dimostrazione. Forme indeterminate del tipo infinito su infinito, zero per infinito, zero su zero e infinito meno infinito. Forme indeterminate per polinomi e funzioni generali. Gerarchia o catena degli infiniti. Forma zero su zero per polinomi.
Continuità in un punto e in un insieme. Continuità delle funzioni elementari, con particolare riferimento al logaritmo e relativa dimostrazione. Operazioni razionali sulle funzioni continue, con dimostrazione. Continuità della funzione composta, con dimostrazione. Punti di discontinuità di prima specie, seconda specie e terza specie. Continuità di funzioni definite a più leggi. Continuità e invertibilità.
Limiti notevoli, con dimostrazione. Infinitesimi: definizione, infinitesimo campione, ordine di infinitesimo e confronto tra infinitesimi. Teorema di cancellazione degli infinitesimi di ordine superiore, con dimostrazione, e applicazione alle forme indeterminate zero su zero. Infiniti: definizione, infinito campione, ordine di infinito, confronto tra infiniti e gerarchia degli infiniti.
Teorema degli zeri di una funzione continua, con dimostrazione. Massimi e minimi assoluti. Insieme compatto. Teorema di Weierstrass e necessità delle relative ipotesi. Studio di funzione: dominio, intersezione con gli assi, segno e limiti.
Derivate
Retta secante e retta tangente a una funzione o a una curva. Rapporto incrementale. Derivata di una funzione in un punto. Equazione della retta tangente al grafico di una funzione in un punto. Derivabilità in un punto e in un intervallo. Funzione derivata. Derivata destra e derivata sinistra.
Derivate delle funzioni elementari: funzione costante, funzione potenza, funzione esponenziale e funzione logaritmo, con relative dimostrazioni. Teorema secondo cui la derivabilità implica la continuità, con dimostrazione. Punti di non derivabilità: punti angolosi, punti a tangente verticale e cuspidi.
Regole di derivazione: moltiplicazione per uno scalare, somma di funzioni, prodotto e quoziente di due funzioni, con relative dimostrazioni. Derivata di una funzione composta, con dimostrazione.
Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat, con dimostrazione. Applicazione congiunta dei teoremi di Weierstrass e Fermat agli insiemi compatti. Teorema di Rolle, con dimostrazione. Teorema di Lagrange, con dimostrazione, e relativo significato geometrico. Teorema di Cauchy, con dimostrazione. Teorema sul test di monotonia, con dimostrazione. Teorema di de l'Hôpital, con dimostrazione.
Derivate di ordine superiore al primo. Funzioni di classe C k. Funzioni convesse e concave. Convessità globale e locale. Polinomi di Taylor e di Maclaurin. Test di convessità, con dimostrazione.
Integrali
Area della regione di piano compresa tra l'asse delle ascisse e il grafico di una funzione. Successioni e partizioni. Somma integrale superiore e inferiore. Funzione integrabile secondo Riemann. Integrale definito di una funzione su un intervallo chiuso e limitato. Relazione tra continuità e integrabilità. Proprietà dell'integrale definito.
Primitiva di una funzione. Insieme delle primitive di una funzione e integrale indefinito. Integrali immediati. Area con segno. Integrazione per parti. Integrazione per sostituzione.
Vettori e matrici
Vettore geometrico, vettore libero e vettore applicato. Lunghezza, verso e direzione di un vettore. Vettori nello spazio reale a n dimensioni. Operazioni tra vettori: somma di vettori e prodotto di un vettore per un numero reale, con relativo significato geometrico. Spazio vettoriale reale. Combinazione lineare di vettori. Vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti.
Matrici. Vettori riga e vettori colonna. Matrice nulla e matrice quadrata. Somma tra matrici e moltiplicazione di una matrice per un numero reale. Matrice trasposta. Matrici simmetriche. Matrice diagonale e matrice identità. Prodotto scalare. Prodotto tra matrici e relative proprietà.
Area del parallelogramma nel piano reale. Determinante di una matrice quadrata di ordine due. Determinanti di matrici quadrate di ordine n e relative proprietà. Relazione tra determinante e dipendenza o indipendenza lineare dei vettori. Determinante di una matrice di ordine tre mediante la regola di Sarrus.
Matrice inversa. Teorema sulla matrice inversa, con dimostrazione. Calcolo della matrice inversa.
Sistemi di equazioni lineari
Formula di Cramer. Sistemi omogenei. Rango di una matrice. Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi parametrici.
- Appunti e altro materiale scaricabile online dal corso di Matematica Generale sulla piattaforma Moodle all’indirizzo: https://economia.el.uniroma3.it/
Facoltativi:
- Loretta Mastroeni, Alessandro Mazzoccoli, Pierluigi Vellucci. Esercizi di matematica generale. Esculapio, 2023
- Loretta Mastroeni, Alessandro Mazzoccoli. Matematica generale. Teoria. Esculapio, 2025
Programma
LogicaSintassi e semantica. Connettivi logici. Condizione sufficiente, condizione necessaria, condizione necessaria e sufficiente. Dimostrazione diretta e costruttiva. Dimostrazione per assurdo.
Teoria degli insiemi
Insieme e appartenenza di un elemento. Concetti primitivi e derivati. Quantificatori. Diagrammi di Eulero-Venn. Sottoinsieme. Insieme vuoto e insieme universo. Unione e intersezione di insiemi. Insiemi disgiunti. Differenza tra insiemi.
Relazioni e funzioni – cenni iniziali
Relazioni e funzioni. Tabulazione di relazioni e funzioni.
Insiemi numerici
Insieme dei numeri naturali, interi relativi, razionali, irrazionali e reali. Teorema dell'irrazionalità della radice quadrata di due, con dimostrazione. Ordinamento e relazione di ordinamento. Assiomi basilari dell'ordinamento. Assioma di completezza e retta reale. Intervalli di numeri reali: intervalli chiusi e aperti. Maggiorante e minorante di un insieme. Estremo inferiore ed estremo superiore. Massimo e minimo di un insieme. Assioma di Dedekind, proprietà e implicazioni sugli intervalli reali. Insiemi illimitati superiormente e inferiormente. Ente matematico infinito.
Sommatorie
Definizione di sommatoria e relative proprietà. Somma degli inversi dei numeri naturali e risultato di Nicola d'Oresme. Somma dei primi n numeri naturali, somma di Gauss con dimostrazione. Somma geometrica con dimostrazione.
Funzioni reali
Definizione di funzione reale. Dominio e insieme immagine. Immagine e controimmagine. Prodotto cartesiano di due insiemi e piano reale. Grafico di una funzione. Funzione inversa. Iniettività, suriettività e invertibilità. Monotonia e stretta monotonia e loro relazione con l'invertibilità. Funzioni pari e dispari. Funzioni elementari e relative proprietà: dominio, insieme immagine, monotonia e invertibilità. Retta. Funzione potenza di grado pari e dispari. Funzione radice ennesima. Funzione esponenziale. Funzione logaritmo. Composizione di funzioni. Funzioni definite a più leggi. Funzione modulo. Operazioni sui grafici. Determinazione del dominio di una funzione. Successioni.
Topologia della retta
Intorno completo, intorno circolare, intorno destro e intorno sinistro. Intorno di infinito. Punto di accumulazione di un insieme. Punti isolati. Complementare di un insieme. Punti interni e punti di frontiera. Insiemi chiusi e insiemi aperti.
Limiti e continuità
Limite finito al finito, limite infinito al finito, limite finito all'infinito e limite infinito all'infinito. Limite destro e limite sinistro. Verifica di un limite. Asintoto verticale e asintoto orizzontale.
Teoremi sui limiti: unicità del limite, con dimostrazione; uguaglianza tra limite destro e limite sinistro, con dimostrazione; teorema di permanenza del segno, con dimostrazione.
Calcolo dei limiti di funzioni agli estremi del dominio. Operazioni razionali sui limiti. Asintoto obliquo: formula e dimostrazione. Forme indeterminate del tipo infinito su infinito, zero per infinito, zero su zero e infinito meno infinito. Forme indeterminate per polinomi e funzioni generali. Gerarchia o catena degli infiniti. Forma zero su zero per polinomi.
Continuità in un punto e in un insieme. Continuità delle funzioni elementari, con particolare riferimento al logaritmo e relativa dimostrazione. Operazioni razionali sulle funzioni continue, con dimostrazione. Continuità della funzione composta, con dimostrazione. Punti di discontinuità di prima specie, seconda specie e terza specie. Continuità di funzioni definite a più leggi. Continuità e invertibilità.
Limiti notevoli, con dimostrazione. Infinitesimi: definizione, infinitesimo campione, ordine di infinitesimo e confronto tra infinitesimi. Teorema di cancellazione degli infinitesimi di ordine superiore, con dimostrazione, e applicazione alle forme indeterminate zero su zero. Infiniti: definizione, infinito campione, ordine di infinito, confronto tra infiniti e gerarchia degli infiniti.
Teorema degli zeri di una funzione continua, con dimostrazione. Massimi e minimi assoluti. Insieme compatto. Teorema di Weierstrass e necessità delle relative ipotesi. Studio di funzione: dominio, intersezione con gli assi, segno e limiti.
Derivate
Retta secante e retta tangente a una funzione o a una curva. Rapporto incrementale. Derivata di una funzione in un punto. Equazione della retta tangente al grafico di una funzione in un punto. Derivabilità in un punto e in un intervallo. Funzione derivata. Derivata destra e derivata sinistra.
Derivate delle funzioni elementari: funzione costante, funzione potenza, funzione esponenziale e funzione logaritmo, con relative dimostrazioni. Teorema secondo cui la derivabilità implica la continuità, con dimostrazione. Punti di non derivabilità: punti angolosi, punti a tangente verticale e cuspidi.
Regole di derivazione: moltiplicazione per uno scalare, somma di funzioni, prodotto e quoziente di due funzioni, con relative dimostrazioni. Derivata di una funzione composta, con dimostrazione.
Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat, con dimostrazione. Applicazione congiunta dei teoremi di Weierstrass e Fermat agli insiemi compatti. Teorema di Rolle, con dimostrazione. Teorema di Lagrange, con dimostrazione, e relativo significato geometrico. Teorema di Cauchy, con dimostrazione. Teorema sul test di monotonia, con dimostrazione. Teorema di de l'Hôpital, con dimostrazione.
Derivate di ordine superiore al primo. Funzioni di classe C k. Funzioni convesse e concave. Convessità globale e locale. Polinomi di Taylor e di Maclaurin. Test di convessità, con dimostrazione.
Integrali
Area della regione di piano compresa tra l'asse delle ascisse e il grafico di una funzione. Successioni e partizioni. Somma integrale superiore e inferiore. Funzione integrabile secondo Riemann. Integrale definito di una funzione su un intervallo chiuso e limitato. Relazione tra continuità e integrabilità. Proprietà dell'integrale definito.
Primitiva di una funzione. Insieme delle primitive di una funzione e integrale indefinito. Integrali immediati. Area con segno. Integrazione per parti. Integrazione per sostituzione.
Vettori e matrici
Vettore geometrico, vettore libero e vettore applicato. Lunghezza, verso e direzione di un vettore. Vettori nello spazio reale a n dimensioni. Operazioni tra vettori: somma di vettori e prodotto di un vettore per un numero reale, con relativo significato geometrico. Spazio vettoriale reale. Combinazione lineare di vettori. Vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti.
Matrici. Vettori riga e vettori colonna. Matrice nulla e matrice quadrata. Somma tra matrici e moltiplicazione di una matrice per un numero reale. Matrice trasposta. Matrici simmetriche. Matrice diagonale e matrice identità. Prodotto scalare. Prodotto tra matrici e relative proprietà.
Area del parallelogramma nel piano reale. Determinante di una matrice quadrata di ordine due. Determinanti di matrici quadrate di ordine n e relative proprietà. Relazione tra determinante e dipendenza o indipendenza lineare dei vettori. Determinante di una matrice di ordine tre mediante la regola di Sarrus.
Matrice inversa. Teorema sulla matrice inversa, con dimostrazione. Calcolo della matrice inversa.
Sistemi di equazioni lineari
Formula di Cramer. Sistemi omogenei. Rango di una matrice. Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi parametrici.
Testi Adottati
Consigliati:- Appunti e altro materiale scaricabile online dal corso di Matematica Generale sulla piattaforma Moodle all’indirizzo: https://economia.el.uniroma3.it/
Facoltativi:
- Loretta Mastroeni, Alessandro Mazzoccoli, Pierluigi Vellucci. Esercizi di matematica generale. Esculapio, 2023
- Loretta Mastroeni, Alessandro Mazzoccoli. Matematica generale. Teoria. Esculapio, 2025
Modalità Frequenza
La partecipazione al corso è facoltativa. Gli studenti possono scegliere di frequentare le lezioni e partecipare alle attività in aula, ma non è obbligatorio. Tuttavia, si consiglia vivamente la partecipazione per una migliore comprensione dei concetti trattati.Modalità Valutazione
L’esame sarà costituito da una prova scritta ed una orale entrambe obbligatorie.